A complexidade da amostragem (aproximadamente) da transformada de Fourier de uma função booleana

Uma coisa que os computadores quânticos podem fazer (possivelmente apenas com apenas os circuitos quânticos BPP + com profundidade de log) é obter uma amostra aproximada da transformada de Fourier de uma função booleana em P. $\pm 1$

Aqui e abaixo, quando falo sobre amostragem da transformada de Fourier, quero dizer escolher x de acordo com . (Normalizado se necessário e aproximadamente). $|\hat f(x)|^2$

Podemos descrever a classe de complexidade, que podemos chamar P-FOURIER SAMPLING, de amostragem aproximada de funções booleanas de P? Existem problemas completos para esta classe?

Dada uma classe X de funções booleanas, o que pode ser dito sobre a complexidade computacional, que podemos chamar de SAMPLING-X de amostragem aproximada da transformação de Fourier das funções em X. (Suponho que, se X é BQP, X-SAMPLING é ainda dentro do poder dos computadores quânticos.)

Quais são os exemplos de X em que SAMPLING-X está em P? Existem exemplos interessantes em que o SAMPLING-X é difícil para o NP?

Existem várias variantes desse problema que também podem ser interessantes. No lado de Fourier, em vez de amostra aproximada, podemos falar sobre um problema de decisão ativado (probabilisticamente) por amostragem aproximada. No lado primal, podemos começar com uma classe X de distribuições de probabilidade e perguntar qual é a relação entre a capacidade de amostrar aproximadamente uma distribuição D em X e amostrar aproximadamente a transformada de Fourier (normalizada).

Em suma, o que se sabe sobre esta questão.

Atualização: Martin Schwarz apontou que, se todos os coeficientes de Fourier em si estão concentrados apenas em um número polinomial de entradas, é possível no BPP aproximar esses coeficientes grandes (e, portanto, também aproximadamente amostrar). Isso remonta a Goldreich-Levin, e Kushilevitz-Mansour. Existem classes de funções interessantes em que existe um algoritmo polinomial probabilístico para amostragem aproximada do lado de Fourier, onde os coeficientes de Fourier estão espalhados por mais do que muitos coeficientes polinomialmente?

Adicionado mais tarde: Permitam-me mencionar alguns problemas concretos.

1) Quão difícil é amostrar aproximadamente a transformação de Fourier das funções booleanas em P.

a) Uma pergunta que Scott Aaronson mencionou em um comentário abaixo é mostrar que isso não está no BPP. Ou algo mais fraco no sentido de que, se essa tarefa estiver no BPP, algum colapso está acontecendo. (Scot conjectura que esse seja o caso.)

b) Outra questão é mostrar que essa tarefa é difícil com relação a alguma classe de complexidade baseada em quantum. Por exemplo, para mostrar que, se você pode executar esta tarefa, pode resolver problemas de decisão no BPP assistido por computadores quânticos com profundidade de log ou algo assim.

2) Quais são as classes de funções booleanas que amostram aproximadamente sua transformada de Fourler em P. O que sabemos é que este é o caso quando os coeficientes de Fourier estão concentrados em muitos coeficientes polinomiais, mas isso parece muito restrito.

3) Existe alguma classe de complexidade X alta no PH que uma máquina X possa amostrar aproximadamente a transformação de Fourier de todas as funções que uma máquina X pode calcular.

4) Eu estava especialmente interessado no problema de amostrar a transformada de Fourier do evento de cruzamento para percolação em uma grade hexagonal n por n.

— Gil Kalai
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Gil, caso isso seja do seu interesse: antes de Alex Arkhipov e eu começarmos a trabalhar no BosonSampling, a coisa "original" que eu queria provar era que o problema aproximado de amostragem de Fourier - ou seja, exatamente o problema que você descreve - não era no BPP, a menos que a hierarquia polinomial entre em colapso. Infelizmente, não fui capaz de provar isso nem de obter boas evidências, o que nos motivou a chamar a atenção para os bósons e a permanente "robusta # P-complete". No entanto, agora gostaria de reiterar minha conjectura de que a amostragem aproximada de Fourier é difícil, assumindo apenas que o PH é infinito. :-)

— Scott Aaronson

Obrigado, Scott, isso é muito interessante. Mencionarei sua conjectura, juntamente com algumas outras na próxima edição da pergunta.

— Gil Kalai

BTW, Scott, não é o argumento por meio de permanentes que mostra que a BOSONSAMPLING no BPP implica o colapso dos trabalhos de PH também para a amostragem de Fourier?

— Gil Kalai

Gil: Sim, para algoritmos de amostragem exatos , é exatamente o mesmo argumento. Mas, para algoritmos de amostragem aproximados, não tenho certeza: seria necessário acreditar que o cálculo aproximado dos coeficientes de Fourier deveria ser # P-completo em média, assim como Arkhipov e eu conjeturamos que a aproximação da permanente de uma matriz gaussiana iid deveria ser # P-completo em média.

— Scott Aaronson

$\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— Martin Schwarz
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Obrigado, Martin! Suponho que não se sabe o quão difícil é amostrar a partir da transformação de Fouriet, mesmo das funções AC ^ 0, certo? (No caso de profundidade-2 uma conjectura de Mansour afirma que é polinomial (com randomização).

— Gil Kalai