Testando positividade em vez de igualdade

Alice e Bob têm strings de n bits e querem descobrir se são iguais enquanto fazem pouca comunicação. A solução aleatória padrão é tratar as seqüências de n bits como polinômios de grau $n$ e depois avaliar os polinômios sobre alguns elementos escolhidos aleatoriamente em um campo de tamanho maior que $n$ . Isso requer comunicação $O(\log |F|)$ .

Suponha, em vez disso, que fixemos uma ordem lexicográfica sobre as seqüências de caracteres e desejemos determinar qual sequência é "maior", o que equivale a encontrar o bit mais à esquerda onde as sequências diferem.

Existe um protocolo aleatório semelhante para fazer isso ou um limite inferior conhecido? Isso parece estar relacionado ao teste de positividade de polinômios.

ps Embora a ordem lexicográfica pareça a mais óbvia, eu estou bem com outras ordens: para o propósito em que estou interessado, tudo o que precisamos é de alguma ordem.

communication-complexity property-testing

— Suresh Venkat
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Eu pensei que a solução aleatória padrão era escolher uma combinação linear aleatória dos bits e apenas enviar a paridade resultante, que requer apenas comunicação

O (1)

$O(1)$

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow Acho que depende da natureza da aleatoriedade - pública ou privada. O protocolo que você menciona usa aleatoriedade pública.

— Sasho Nikolov

Para comparação, talvez valha a pena mencionar que a complexidade determinística é

, portanto o protocolo trivial é ideal. Isso fornece uma boa lacuna exponencial entre soluções determinísticas / exatas e randomizadas, mostrando que (pelo menos na complexidade da comunicação), a aleatoriedade realmente pode ajudar.

n + 1

$n+1$

— András Salamon

Um sim.

$\:$ Quanta comunicação é necessária para um algoritmo que nunca fornece a resposta errada e, para todos os pares de entrada, fornece MAYBE a esse par de entradas com probabilidade no máximo 1/2?

Talvez valha a pena mencionar que a complexidade da comunicação em torno de

é maior que

em particular, ou seja, é linear para

, consulte arxiv.org/abs/cs/0309033 . É um papel nice :)

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— Marc Bury

Respostas:

Isso é conhecido como problema maior que a complexidade da comunicação. Existe um algoritmo com complexidade de comunicação (Exercício 3.18 no livro Nisan-Kushilevitz). $O(\log n)$

Edit: O algoritmo é devido ao Nisan (página 10): http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type=pdf

Ele usa a abordagem sugerida por @Sasho Nikolov abaixo --- executando uma pesquisa binária usando testes de igualdade com erro constante para fazer as comparações. Isso pode ser feito com consultas usando o "algoritmo de pesquisa binária barulhenta" de Feige, Peleg, Raghavan e Upfal: http://cs.brown.edu/~eli/papers/SICOMP23FRPU.pdf $O(\log n)$

Para obter um protocolo de aleatoriedade privado (não explícito), é possível aplicar o resultado de Newman: http://pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— Grigory Yaroslavtsev
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\log n

$\log n$

O (1)

$O(1)$

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$

@SashoNikolov Ok, acho que algo assim pode ser usado como uma "pesquisa binária barulhenta", que tolera uma fração constante de erros, para que possamos usar a probabilidade de erro constante nos testes de igualdade: dl.acm.org/citation.cfm? id = 167129

— Grigory Yaroslavtsev

verdade. Eu quis dizer pesquisa binária em que cada comparação pode dar o resultado errado com pequena probabilidade constante. Acho que este artigo fornece o resultado necessário, por exemplo: dl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Sasho Nikolov

Movido a discussão para a resposta.

— Grigory Yaroslavtsev

Consulte A complexidade de comunicação da adição .

$O(\log n)$

— Manu
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