Limite inferior da verificação da conectividade do gráfico no fluxo

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Gostaria de verificar o status do limite inferior do espaço para resolver o problema de conectividade no fluxo em passes. O foi declarado na literatura, mas parece ser um problema ligeiramente diferente. Perdi alguma coisa? Detalhes abaixo. $p$ $\Omega(n/p)$

Dado um gráfico de vértices em um fluxo (as arestas são apresentadas uma a uma de maneira fluida), queremos verificar se está conectado. Qual é o espaço mínimo que um algoritmo precisa para resolver esse problema quando é permitido ler o fluxo para passa? $G$ $n$ $G$ $p$

Feigenbaum et al . mostrou espaço para algoritmos de uma passagem para uma classe de problemas que inclui esse problema (consulte a Seção 5.1) e afirmou que o limite inferior do espaço para conectividade foi provado por Henzinger et al. . No entanto, o único limite inferior para o problema de "conectividade" é realmente para o problema de " - conectividade": dados os vértices e , queremos verificar se e $\Omega(n)$ $\Omega(n/p)$ $s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$ estão no mesmo componente conectado (Teorema 6). A prova disso não pode ser usada para o problema de conectividade, pois pode haver muitos vértices incidentes sem margem.

Então, minha pergunta é, para a versão específica de conectividade que afirmei, existe algum limite inferior conhecido pelo fluxo -pass? $p$

lower-bounds data-streams

— Danu
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Aqui está uma redução do Disjointness que pode funcionar:

Dados os vetores de bits de entrada e , Alice e Bob desejam criar os conjuntos de arestas e para um gráfico modo que seja conectado se não houver um índice tal que . $n$ $x$ $y$ $E_1$ $E_2$ $G$ $G$ $x_i = y_i = 1$

O gráfico terá o conjunto de vértices . Para , Alice adiciona a aresta a iff ; Da mesma forma, Bob adiciona a aresta $G$ ${0,1,\ldots,n} \times {0,1}$ $i < n$ $((i-1,0),(i,0))$ $E_1$ $x_i = 0$ para sse . Além disso, Alice adiciona todas as arestas do formulário para . $((i-1,1),(i,1))$ $E_2$ $y_i = 0$ $((i,0),(i,1))$ $i\in {0,\ldots,n}$

Eu acho que este gráfico tem um componente conectado se if estiver conectado a , o que acontece se for para cada , ou for 0; isto é, as duas entradas são separadas. $(0,0)$ $(n,0)$ $i\in{1,2,\ldots,n}$ $x_i$ $y_i$

— Srikanth
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Isso é legal! Usando a sua idéia, podemos fazer isso também: Construir

nodos

mais

e

. Existe uma aresta de

a

se

e de

a

se

.

n

$n$

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

s

$s$

t

$t$

s

$s$

v_{i}

$v_i$

x_{i} = 0

$x_i=0$

t

$t$

v_{i}

$v_i$

y_{i} = 0

$y_i=0$

— Danu

Ótimo!

e

também não devem ser conectados por uma borda?

s

$s$

t

$t$

— Srikanth

Sim, você está certo.

e

devem ser conectados por uma borda.

s

$s$

t

$t$

— Danu

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Um menor melhor ligado quando $p=1$ é bits, em que . (A prazo pode ser feita de forma arbitrária perto de para suficientemente grande , e assintoticamente é ). $n \log n - n (\log \log n + 3/2)$ $\log = \log_2$ $3/2$ $1$ $n$ $\log\log e - \log e \approx 0.91$

Também se pode aplicar uma redução direta de um jogo de comunicação de conectividade gráfica para obter um limite inferior menos explícito . No entanto, como o fator constante implícito se refere ao número de blocos garantidos pelo Regularity Lemma de Szemerédi , parece acabar tão pequeno que é inútil para aplicações. $\Omega(n \log n)$

Portanto, um limite inferior mais preciso para o caso pass é $p$ . Continuo não convencido de que esse seja o verdadeiro limite inferior, uma vez quealcançar tal limite parece improvável- a verdadeira dependência deparece ser mais fraca que uma proporção inversa. No entanto, o limite deve ser pelo menos $\frac{1}{p}(n\log n - n(\log\log n + 3/2))$ $p$ , melhorando. $\Omega(\frac{1}{p}n\log n)$ $\Omega(n/p)$

— András Salamon
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