Conversão η vs extensionalidade em extensões do cálculo lambda

Muitas vezes fico confuso com a relação entre conversão η e extensionalidade.

Edit: De acordo com comentários, parece que também estou confuso sobre a relação entre equivalência extensional e equivalência observacional. Mas pelo menos em Agda com igualdade extensional para funções (como um postulado) e para um cálculo lambda de tipo simples (que tem uma semântica totalmente abstrata, se não me engano), equivalência denotacional é a mesma que equivalência observacional. Sinta-se livre para me corrigir em comentários ou respostas; Eu nunca recebi educação sistemática sobre esses assuntos.

No cálculo lambda não tipado, a regra-eta fornece o mesmo sistema de prova que a regra de extensionalidade, conforme comprovado por Barendregt (citado em uma resposta a esta pergunta ). Entendo que isso significa que o sistema de prova com a regra eta está completo para equivalência observacional (de outras respostas, que podem precisar da regra ξ-rule, ou seja, redução sob os ligantes IIUC; não tenho problemas em adicionar essa regra também) .

No entanto, o que acontece se mudarmos para um cálculo digitado e adicionarmos estender esse cálculo com tipos de base extras e formulários correspondentes de introdução e eliminação? Ainda podemos escrever um sistema completo de provas para equivalência observacional? Vou falar sobre sistemas de prova na forma de uma semântica axiomática, seguindo os Fundamentos das Linguagens de Programação (Mitchell's Fundations of Programming Languages ​​- FPL); o sistema de prova / semântica axiomática define a equivalência do programa.

Pergunta 1 : o teorema de Barendregt se estende ao STLC? A equivalência η é equivalente à extensionalidade nesse contexto?

Eu estou navegando discussão do PCF do FPL (mas não terminou a seção ainda), e parece que uma vez que você adicionar pares, extensionalidade requer uma regra adicional, o emparelhamento nomeadamente surjective: pair (Proj1 P, Proj2 P) = P. Curiosamente, esta regra relaciona a introdução e eliminação de pares exatamente como a regra η relaciona a introdução e eliminação de funções.

Pergunta 2 : É suficiente adicionar o axioma de emparelhamento subjetivo para provar a extensionalidade no λ-cálculo de tipo simples com pares? edit : Pergunta 2b : o emparelhamento subjetivo é uma lei-η, como as leis-η mencionadas neste artigo , devido à semelhança estrutural que mencionei?

Vamos até o PCF agora. As descrições de igualdade extensional que eu já vi provam que a extensionalidade implica uma regra de prova por indução, mas elas não dizem se isso é suficiente. Como o PCF está completo em Turing, a igualdade extensional é indecidível . Mas isso não implica que não haja um sistema completo de provas, uma vez que o comprimento das provas é ilimitado. Mais relevante, esse sistema de prova talvez contradisse os teoremas da incompletude de Gödel. E esse argumento pode se aplicar mesmo ao PCF sem fixe ao Sistema T. de Gödel

Pergunta 3 : Existe um sistema completo de provas de equivalência observacional no PCF? E o PCF sem fix?

Atualização: abstração completa

Eu respondo aqui no comentário sobre abstração completa. Eu acho que o PCF sofre de dois tipos diferentes de problemas: ele tem terminação (via correção), o que causa a perda da abstração completa, mas também possui números naturais. Ambos os problemas dificultam o tratamento da equivalência observacional, mas acredito independentemente um do outro.

Por um lado, o PCF perde a abstração completa porque é paralelo ou vive no domínio semântico (Plotkin, 1977), e isso parece ter a ver com o não-término. Ralph Loader (2000, "PCF finitário não é decidível") mostra que o PCF finitário (sem naturais, mas com não terminação) já é indecidível; portanto, (se resumir corretamente), uma semântica totalmente abstrata não pode se restringir a domínios com operações computáveis.

Por outro lado, considere o Sistema T de Gödel, que não possui não-terminação. (Não tenho certeza de que tenha uma semântica totalmente abstrata, mas acho que sim, porque o problema é mencionado apenas para PCF; o domínio deve conter funções recursivas primitivas de ordem superior). Os fundamentos práticos da Harper para linguagens de programação discutem a equivalência observacional para essa linguagem; Sec. 47.4 é intitulado "Algumas leis da igualdade" e mostra algumas regras de prova admissíveis para equivalência observacional. Em nenhum lugar ele diz se o sistema de provas está completo, então acho que não está, mas também não discute se ele pode ser concluído. Meu melhor palpite remonta ao teorema da incompletude de Gödel.

Não tenho certeza de que posso responder completamente à sua pergunta, mas vou tentar e fazer algumas perguntas que podem estimular uma discussão mais aprofundada sobre esse assunto.

Meu primeiro argumento é o seguinte: diz-se que dois termos no λ- cálcio não tipado são notavelmente iguais se, para cada termo M : M t  termina  ⇔ M t '  termina  Onde termina significa "tem uma forma β- normal"$t, t'$ $\lambda$$M$

$$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$$ $\beta$

Acho mais natural considerar termos com "buracos" ou contextos vez de simplesmente termos M e escrever E [ t ] em vez de M t . As duas visualizações são certamente equivalentes (se as variáveis ​​não estiverem vinculadas pelo contexto), pois a abstração permite transformar o contexto E [ _ ] no termo λ x . E [ x ] .$E[\_]$$M$$E[t]$$M\ t$$E[\_]$$\lambda x.E[x]$

Agora, é fato que a igualdade observacional no cálculo não tipado não é capturada pela igualdade ! De fato, existe toda uma classe de termos, que ambos não terminam e não têm formas normais de cabeça e, portanto, são todos notavelmente iguais. Às vezes, são chamados de termos perpétuos ou termos insolúveis , e aqui estão dois termos: ( λ x . X x ) ( λ x . X x ) e ( λ x . X x x ) ( λ x $\beta\eta$

$$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$$ É muito fácil mostrar que esses termos não sãoiguais a β η . $$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$$ $\beta\eta$

Se todos os termos perpétuos forem identificados, a igualdade observacional será completamente capturada, por um resultado clássico (consulte o teorema de Barendregt 16.2.7).

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$\lambda$$t_1\downarrow t_2$$t_1$$t_2$$A$c x$c_A, c_A', c''_A,\ldots$$c_x$do tipo apropriado para corresponder a cada variável .$x$

1. No tipo básico , sse o forma normal -head de é e que de é e e em seus respectivos tipos.t 1 ↓ t 2 β t 1 c u 1 … u n t 2 d v 1 … v n c = d u 1 ↓ v 1 , … , u n ↓ v $B$$t_1\downarrow t_2$$\beta$$t_1$$c\ u_1\ldots u_n$$t_2$$d\ v_1\ldots v_n$$c=d$$u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$

2. No tipo de seta, se ambos os termos reduce em uma abstraction.$t_1\downarrow t_2$$\beta$$\lambda$

Observe que eu só uso conversão nesta definição.$\beta$

Agora defino os contextos para serem: com o contexto principal, aplicação, abstração e substituição (por termos fechados), respectivamente.

$$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$$

Podemos então definir e , bem tipificado, do tipo como equivalente observacional se, e somente se, para todo contexto tal que sejam bem tipados e fechados . escreveremos neste casot ′ T E [ _ ] E [ t ] , E [ t ' ] E [ t ] ↓ E [ t ' ] t = o b s t $t$$t'$$T$$E[\_]$$E[t],E[t']$

$$E[t]\downarrow E[t']$$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$

Agora é fácil observar que se então . A outra direção é menos trivial, mas também vale: de fato, se , então podemos mostrar que os termos são iguais para por indução no tipo: t = o b s t ′ t = o b s t ′ β $t=_{\beta\eta}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$\beta\eta$

1. No tipo base, basta considerar como , com a substituição que envia para . Temos e . Temos e . Temos então e, portanto, . Agora não podemos concluir imediatamente que . De fato, se e são -abstractions, então trivialmente[ _ ] θ θ x c x E [ t ] = t θ E [ t ' ] = t ′ θ t θ → β c x u 1 θ … u n θ t ′ θ → β c x ′ v 1 θ … v n θ c x = c $E[\_]$$[\_]\theta$$\theta$$x$$c_x$$E[t]=t\theta$$E[t']=t'\theta$$t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$$t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$ X=x′uiθ= β η viθuiviλuiθ↓viθxλ → y . ~ c x (y1 → c 1 )…(yn → c n$c_x=c_{x'}$$x=x'$$u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$$u_i$$v_i$$\lambda$$u_i\theta\downarrow v_i\theta$ ! O truque aqui é enviar para e repeti-lo quantas vezes for necessário. Estou um pouco confuso com os detalhes aqui, mas a ideia é semelhante ao teorema de Böhm ( Barendregt novamente 10.4.2).$x$

   $$\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$$

2. No tipo de seta, considere como , ou seja, aplicativo para com e não em ou . Pela hipótese de indução, temos: e assim que fornece e finalmente por -equality: [ _ ] c y c y c y y t t ' t c y = β η t ' c y t $E[\_]$$[\_]\ c_y$$c_y$$c_y$$y$$t$$t'$

   $$t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$$ λ y . t y = β η λ . t ′ y η t = β η t $$t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$$ $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$$\eta$ $$t\ =_{\beta\eta}\ t'$$

Isso foi mais difícil do que o esperado!

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Tudo bem, vamos abordar o sistema T. Vamos adicionar um tipo ao mix, construtores e e um recursor para cada tipo , com as " -rules" 0 S r e c T T β r $\mathbb{N}$$0$$S$$\mathrm{rec_T}$$T$$\beta$

$$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$$ $$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$$

Queremos provar o mesmo teorema que acima. É tentador adicionar " -rules" para provar equivalências como: onde o termo à direita é a "identidade estúpida" que desencadeia sucessores apenas para adicioná-los novamente.$\eta$

$$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$$ $m$

Por exemplo, vamos adicionar esta regra: que é uma variável nova, como na regra usual . Agora observe que essa regra é recursivamente enumerável (você pode tentar todas as opções possíveis para ).

$$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$$ $x$$\eta$$h$

Podemos provar o mesmo teorema que acima? Infelizmente, como você suspeitava, você encontrará alguma maldade de Gödel, ou melhor, a variante Kleene (consulte a Wikipedia ). Para cada máquina de Turing , é fácil criar um termo no sistema , de forma que (com es) retorne se terminar no máximo etapas e caso contrário.${\cal M}$$t_{\cal M}$$T$$t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$$n$ $S$$1$${\cal M}$$n$$0$

Portanto, agora, se não termina, você pode perguntar se a equação (verdadeira) é possível usando as regras acima. Mas, considerando que é a máquina que termina se for comprovável no sistema (com as regras acima), você terá problemas, ou seja, a equação é verdadeira, mas não é possível (ou a aritmética Peano é inconsistente!).t M = λ x .0 β η M 0 = β η S 0 T t M = λ x ${\cal M}$

$$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$$ $\beta\eta$${\cal M}$ $$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$$ $T$$t_{\cal M}=\lambda x.0$