Determinantes e multiplicação de matrizes - Semelhança e diferenças na complexidade algorítmica e no tamanho do circuito aritmético

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Estou tentando entender a relação entre a complexidade algorítmica e a complexidade do circuito de Determinantes e Multiplicação de Matrizes.

Sabe-se que o determinante de um matriz pode ser calculado em de tempo, em que é o tempo mínimo necessário para multiplicar quaisquer dois matrizes. Sabe-se também que a melhor complexidade de circuito dos determinantes é polinomial na profundidade e exponencial $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ na profundidade 3. Mas a complexidade do circuito de multiplicação de matrizes, para qualquer profundidade constante, é apenas polinomial.

Por que existe uma diferença na complexidade do circuito para determinantes e multiplicação de matrizes, enquanto se sabe que, de uma perspectiva de algoritmo, o cálculo determinante é semelhante à multiplicação de matrizes? Especificamente, por que as complexidades do circuito possuem um intervalo exponencial na profundidade ? $3$

Provavelmente, a explicação é simples, mas não a vejo. Existe uma explicação com 'rigor'?

Veja também: Menor fórmula conhecida para o determinante

— T ....
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3

Considere o problema do valor do circuito e a avaliação da fórmula booleana para várias classes de complexidade pequena. A complexidade de tempo sequencial determinística deles é a mesma que sabemos, mas eles são muito diferentes da perspectiva da complexidade do circuito. A semelhança em um tipo específico de recurso em um modelo não implica similaridade para outros recursos em outros modelos. Um problema pode ser tal que possamos explorar a computação paralela para um, enquanto não podemos fazer isso para outro, mas a complexidade sequencial do tempo pode ser a mesma.

Quando podemos esperar uma relação mais robusta entre a complexidade de dois problemas entre modelos e recursos diferentes? Quando há uma redução robusta entre eles nas duas direções, que respeita os recursos nesses modelos.

$\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Kaveh
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O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

1

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

Eu estou olhando apenas a complexidade seqüencial por enquanto.

— T ....

Não tenho certeza se sigo seu comentário. Acho que meu post responde à pergunta no cenário booleano (a pergunta não mencionou circuitos aritméticos originalmente IIRC). Para a configuração do circuito aritmético, não sei muito, espero que outros respondam à pergunta.

— Kaveh 18/05

2

Eu diria que a lacuna nas configurações aritméticas nos diz que a multiplicação da matriz é inerentemente uma tarefa muito mais paralela que o determinante. Em outras palavras, enquanto as complexidades sequenciais de ambos os problemas estão intimamente relacionadas, suas complexidades paralelas não são tão próximas umas das outras.

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— Bruno
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Não sei se isso é uma resposta a "por que as complexidades do circuito têm um intervalo exponencial na profundidade 3?", Mas pelo menos você tem uma prova desse fato é o artigo de Csanky.

— 1955 Bruno

Se bem entendi, você está sugerindo: para ter um número polinomial de processadores, é preciso profundidade logarítmica?

— T ....

1

Não me lembrava do modelo exato que Csanky usava. Na verdade, ele está considerando o que hoje chamamos de circuitos aritméticos com fan-in limitado . Assim, o limite inferior é bastante trivial e minha comparação com a multiplicação de matrizes não é relevante.

— Bruno