Poderia haver um subconjunto oculto extremamente grande de problemas polinomialmente solucionáveis ​​nos problemas NP-Complete?

Suponha que P! = NP.

Sabemos que podemos criar instâncias fáceis do 3-SAT a qualquer momento. Também podemos gerar o que acreditamos ser instâncias difíceis (porque nossos algoritmos não podem resolvê-los rapidamente). Existe algo que impeça que o conjunto de instâncias rígidas seja arbitrariamente pequeno, desde que, para qualquer tamanho de instância (n), haja apenas instâncias Poly (n) (ou mesmo constantes) do tamanho Poly (n) ou menores?

Para qualquer instância 3-SAT rígida, teríamos que adicionar o conjunto de todas as instâncias 3-SAT reduzidas ao loop através do ciclo de redução da Completitude NP, mas não prevejo isso aumentando muito o número de instâncias rígidas .

Nesse mundo, poderíamos construir um algoritmo que resolve polinomialmente todos os problemas completos de NP, exceto alguns excepcionais.

Edit: Uma variante mais suave da pergunta: mesmo se mostrássemos P! = NP, como poderíamos saber se um determinado método para gerar problemas de tamanho n 3-SAT realmente gerou um difícil com alguma probabilidade necessária? Se não há como saber apenas de P! = NP, o que é necessário para mostrar que podemos gerar um problema difícil de NP completo?

1) Dependendo exatamente do que se pretendia, a conclusão na observação de Kaveh pode ser reforçada de para , essencialmente usando o Teorema de Mahaney. Ou seja, se houver um algoritmo que resolva SAT e execute no tempo em todas as instâncias de comprimento exceto em possíveis tais instâncias, em que e são ambos polinômios, então . Veja, por exemplo, Meyer e Paterson e suas referências, ou a monografia de Schoning "Complexidade e estrutura"$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\leq p(n)$$n$$q(n)$$p$$q$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. Portanto, se isso captura sua noção de "instâncias concretas", deve haver mais do que muitas instâncias rígidas para cada , assumindo .$poly(n)$$n$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Para sua informação, esses algoritmos são algumas vezes chamados de "apt" ou "APT", por "tempo quase polinomial" (não devem ser confundidos com a classe de complexidade mais moderna , que é igual a )$\mathsf{almostP}$$\mathsf{BPP}$

2) O acima pode ser reforçado ainda mais, como segue. Suponha . O que foi dito acima diz que, para qualquer algoritmo que resolva SAT e qualquer polinômio , há um conjunto de instâncias de tamanho super-polinomial no qual o algoritmo leva mais do que tempo. Mas o conjunto pode depender do algoritmo.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$p$$p(n)$

O resultado mais forte alterna os quantificadores e conclui: existe um tamanho super polinomial definido H (para "hard") tal que, para qualquer algoritmo A que resolve SAT e qualquer polinômio p, A leva mais do que tempo, exceto muitos elementos finitos de H. Tal H é chamado núcleo de complexidade (a suposição de tamanho não faz parte da definição de núcleo de complexidade). A definição e a existência de núcleos de complexidade foram fornecidas por Lynch . O resultado que acabei de citar é comprovado por Orponen e Schoning .$p(n)$

Ninguém mencionou o famoso jornal "Cinco mundos" de Impagliazzo.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

$\stackrel{?}{=}$

Existe algo que impeça que o conjunto de instâncias rígidas seja arbitrariamente pequeno, desde que, para qualquer tamanho de instância (n), haja apenas instâncias Poly (n) (ou mesmo constantes) do tamanho Poly (n) ou menores?

novamente o teorema de Mahaney (expresso de uma maneira ligeiramente diferente) responde diretamente a isso. Outra maneira de ver isso é que tentativas de restringir a distribuição de instâncias de alguma maneira chave / característica levam a funções NP-completas. um exemplo disso da complexidade de circuitos monótonos é "funções de fatia". [2]

[1] Prevendo a satisfação na transição de fase Lin Xu, Holger H. Hoos, Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne: a complexidade das funções da fatia central. Theor. Comput. Sci. 44: 247-257 (1986)

[3] Solução analítica e algorítmica de problemas aleatórios de satisfação M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] Transições de fase em problemas NP-completos: um desafio para probabilidade, combinatória e ciência da computação por Moore