Provas alternativas do lema de Schwartz – Zippel

Só conheço duas provas do lema de Schwartz – Zippel. A primeira prova (mais comum) é descrita na entrada da Wikipedia . A segunda prova foi descoberta por Dana Moshkovitz.

Existem outras provas que usam idéias substancialmente diferentes?

Aqui está outra idéia que tive para uma prova geométrica. Ele usa a geometria projetiva de maneira essencial.

Deixe ser um ponto fora da afim hipersuperfıcie S . Projete a hipersuperfície no hiperplano no infinito usando c como centro; isto é, mapeie todos os x ∈ S em p ( x ) , a interseção da linha exclusiva entre c e x com o hiperplano no infinito. As pré-imagens abaixo de p de um ponto no infinito estão todas na mesma linha e, portanto (novamente reduzindo o problema à dimensão 1), a maioria delas é d . O hiperplano no infinito tem cardinalidade | F m $c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$, então obtemos o limite superior familiar | S | ≤d | F m - 1 | .$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Como acompanhamento da resposta de Per Vognsen, a prova de Dana Moshkovitz já sugere uma prova realmente fácil para apenas uma versão um pouco mais fraca do Lema de Schwartz-Zippel que, creio, é suficiente para a maioria das aplicações.

Seja um polinômio diferente de zero de grau d , onde F é um campo finito de ordem q , e seja x ∈ F n um ponto tal que f ( x ) ≠ 0 . Existem ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) muitas linhas distintas passando por x, de modo que elas particionam F n - { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. A restrição de para cada uma dessas linhas é um polinômio univariado de grau d , que é diferente de zero, porque é diferente de zero em x e, portanto, tem no máximo d zeros. Assim, o número total de zeros de f é no máximo d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) . Schwartz-Zippel, para comparação, fornece o limite superior mais forte de d q n - 1 .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Dada a facilidade dessa prova, tenho certeza de que é folclore; caso contrário, deveria ser :) Eu apreciaria se alguém pudesse fornecer uma referência.

A prova de Moshkovitz é baseada em geometria simples, mas o artigo não é muito claro nisso. Aqui está a ideia:

Um polinômio grau em m variáveis ​​corta uma hipersuperfície em F m . A interseção da hipersuperfície e uma linha independente (ou seja, a interseção não é a linha inteira) tem no máximo d pontos. Se você puder encontrar uma direção que está em toda parte independente da hipersuperfície, você pode foliar F m por linhas paralelas naquela direção e contagem de cruzamentos dentro de cada linha. A foliação é parametrizada pelo complemento ortogonal da direção, que é um hiperplano isomórfico para F m - 1 ; portanto, o número total de pontos de hipersuperfície em todo F m é no máximo d | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Isso sugere que outras provas em linhas semelhantes poderiam funcionar.

Edit: Eu queria dizer um pouco sobre como a prova de Arnab se relaciona com a de Moshkovitz. Ele pega um ponto fora da hiper superfície e considera o lápis de linhas nesse ponto. Moshkovitz considera uma família de linhas paralelas. Parece diferente, mas é realmente a mesma coisa! Uma família paralela é um lápis de linhas através de um ponto no infinito. A álgebra de Arnab aplica literalmente se você primeiro tomar a homogeneização do polinômio e restringir o hiperplano no infinito, inserindo , o que apaga todos os termos não principais.$w = 0$

Editar: veja minha outra resposta para obter uma nova prova (mas não completamente não relacionada).

Tentativa 1:

Você já viu o Lema A.36 (página 529) do livro de Arora / Barak ? É quase meia página e é baseada na indução.

Se você não tem acesso ao livro, eu posso realizar a prova aqui.

Tentativa 2:

E a história curiosa do lema de Schwartz-Zippel ? Entre os outros, cita o artigo de DeMillo-Lipton , que remonta a 1977. Vários outros artigos são nomeados e comparados também.

Tentativa 3:

O seguinte tópico MathOverflow também pode ser interessante: Algoritmo P / poly para teste de identidade polinomial .

O lema de Schwartz-Zippel é um caso especial de um teorema de Noga Alon e Zoltan Füredi, como mostra a Seção 4 deste artigo: Sobre zeros de um polinômio em uma grade finita e, portanto, qualquer nova prova desse teorema fornece uma nova prova de Schwartz -Zippel. A partir de agora, conheço seis provas diferentes, duas das quais aparecem no jornal e outras são aqui referenciadas.

O teorema de Alon-Furedi diz o seguinte:

$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

$\deg f < \min \#A_i$

A formulação original do lema de Schwartz – Zippel se aplica apenas aos campos:

$P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Pode-se reformular o lema de modo que faça sentido para anéis comutativos arbitrários:

$P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

A vantagem da prova da wikipedia é que ela generaliza para mostrar que a reformulação é verdadeira para anéis comutativos arbitrários, que foram observados e elaborados por Emil Jeřábek aqui .

Isso fornece uma prova alternativa do lema de Schwartz-Zippel, provando a reformulação dos anéis comutativos gerais e obtendo a formulação normal dos campos como corolário.