Complexidade da função exponencial

Sabemos que a função exponencial sobre números naturais não é computável em tempo polinomial, porque o tamanho da saída não é polinomialmente limitado no tamanho das entradas. $\exp(x,y) = x^y$

Essa é a principal razão da dificuldade de calcular a função exponencial ou a exponenciação é inerentemente difícil de calcular, independentemente dessa consideração?

Qual é a complexidade do gráfico de bits da função exponencial?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— Pedro
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Alterei a noção "EXP" para "L", pois EXP é o nome de uma famosa classe de complexidade e pode causar confusão.

— MS Dousti

Se estiver restrito a uma potência de 2, então é . Além disso, o gráfico da exponenciação possui baixa complexidade.

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Kaveh

Sadeq: Se você quer evitar classes de complexidade, L não é de forma melhor do que EXP ... mudou para X.

— Peter

@ Peter: No contexto, L é certamente uma "linguagem" em vez da classe de complexidade do espaço de log. Enfim, X é uma escolha muito melhor.

— MS Dousti 30/09/10

@ Kaveh: A pergunta afirma que se trata da função exponencial nos números naturais.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

Aqui estão alguns limites superiores.

Ao quadrado repetido, o problema está no PSPACE.

Existe um limite superior ligeiramente melhor. O problema é um caso especial do problema do BitSLP: dado um programa linear a partir de 0 e 1 com adição, subtração e multiplicação representando um número inteiro N , e dado i ∈ℕ, decida se o i- ésimo bit (contando do bit menos significativo) da representação binária de N é 1. O problema do BitSLP está na hierarquia de contagem ( CH ) [ABKM09]. (É declarado em [ABKM09] que pode ser demonstrado que o problema do BitSLP está em PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP}}} .)

A associação ao CH é frequentemente considerada uma evidência de que é improvável que o problema seja difícil para o PSPACE, porque a igualdade CH = PSPACE implica que a hierarquia de contagem entra em colapso. No entanto, não sei quão forte essa evidência é considerada.

Quanto à dureza, o BitSLP é mostrado com # P-hard no mesmo documento [ABKM09]. No entanto, a prova não parece implicar nenhuma dureza da linguagem X na questão.

Referências

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen e Peter Bro Miltersen. Sobre a complexidade da análise numérica. SIAM Journal on Computing , 38 (5): 1987–2006, janeiro de 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Tsuyoshi Ito
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Não é uma resposta completa, mas pelo menos parcial.

Percebo que as duas respostas que apareceram até agora não mencionaram o fato de que existe um algoritmo para calcular o exponencial modular onde é o número de bits em e onde é o expoente correspondente ao algoritmo de multiplicação mais rápido. Portanto, os bits menos significativos da exponencial podem ser calculados com eficiência (em ou menos). $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

A maneira de fazer isso é bastante simples: você pode calcular , , . Claramente , e então , mas como existem apenas termos isso leva apenas $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ multiplicações.

Além disso, podemos escrever como , para que os bits mais significativos que correspondam a aproximadamente também possam ser calculados com eficiência, pois dependerão apenas do bit mais significativo de . $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

Portanto, os únicos termos reais do problema são causados por bits no centro de . $x^y$

— Joe Fitzsimons
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Existe uma relação interessante entre essa resposta e a minha. Se não me engano, uma visão geral aproximada do algoritmo em [ABKM09 ] citada em minha resposta é combinar essa ideia com o teorema do restante chinês para obter bits mais altos.

— Tsuyoshi Ito

Ah, eu não tinha percebido isso.

— Joe Fitzsimons

[Esta resposta explica alguns aspectos interessantes sobre a resposta de Per Vognsen . Não é uma resposta direta à pergunta do OP, mas pode ajudar na resolução de tais questões.]

Primeiro, dê uma olhada no seguinte link: Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (ou simplesmente fórmula BBP). É uma maneira de calcular o ésimo número irracional , sem calcular primeiro os primeiros bits. O artigo destaca que também existem fórmulas do tipo BPP para outros números irracionais. $i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— MS Dousti
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