Um caso fácil de SAT que não é fácil para a resolução em árvore

Existe uma classe natural de fórmulas de CNF - de preferência uma que tenha sido previamente estudada na literatura - com as seguintes propriedades:$C$

• é um caso fácil de SAT, como, por exemplo, Horn ou 2-CNF, ou seja, a associação empode ser testada em tempo polinomial e as fórmulaspodem ser testadas quanto à satisfação em tempo polinomial.$C$F ∈ $C$$F\in C$
• As fórmulas insatisfatórias não são conhecidas por terem refutações de resolução curtas (tamanho polinomial) em árvore. Ainda melhor seria: existem fórmulas insatisfatórias em para as quais é conhecido um limite inferior super-polinomial para resolução semelhante a uma árvore.$F\in C$$C$
• Por outro lado, as fórmulas insatisfatórias em são conhecidas por terem provas curtas em algum sistema de prova mais forte, por exemplo, em resolução semelhante a dag ou em algum sistema ainda mais forte.$C$

n n ∈ $C$ não deve ser muito esparso, ou seja, conter muitas fórmulas com variáveis, para todos (ou pelo menos para a maioria dos valores de) . Também deve ser não trivial, no sentido de conter fórmulas satisfatórias e também insatisfatórias.$n$$n\in \mathbb{N}$

A abordagem a seguir para resolver uma fórmula arbitrária CNF deve ser significativa: encontre uma atribuição parcial na fórmula residual em e aplique o algoritmo de tempo polinomial para fórmulas em a . Portanto, eu gostaria de outras respostas além das restrições totalmente diferentes da resposta atualmente aceita, pois acho raro que uma fórmula arbitrária se torne uma restrição totalmente diferente após a aplicação de uma restrição.α F α C C F $F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

Parece que você está interessado em diferentes restrições (e sua última frase está no caminho certo). Essas são instâncias não triviais do princípio do buraco de pombo, em que o número de pombos não é necessariamente maior que o número de buracos e, além disso, alguns pombos podem ser barrados em alguns dos buracos.

Restrições diferentes podem ser decididas combinando em tempo polinomial de ordem baixa.

• Jean-Charles Régin, um algoritmo de filtragem para restrições de diferença em CSPs , AAAI 1994, 362-367.
• DE Knuth e A. Raghunathan, O problema dos representantes compatíveis , SIAM J. Discrete Math. 5 422-277, 1992. doi: 10.1137 / 0405033

Quando restrições diferentes são expressas (usando uma das várias codificações) como instâncias SAT, o aprendizado de cláusulas orientadas a conflitos geralmente encontra rapidamente uma solução, se existir. No entanto, a resolução pura para o PHP precisa criar um conjunto de cláusulas superpolinomialmente grandes para mostrar que a instância é insatisfatória. Esse limite claramente se aplica a esse problema mais geral. Por outro lado, lembre-se de que a codificação do PHP por Cook permite a extensão estendida de tamanho polinomial refutações de resolução .

• SA Cook, Uma pequena prova do princípio do buraco de pombo usando resolução estendida , Notícias SIGACT 8 28–32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

Um trabalho recente nesse sentido é o Capítulo 5 de tese Sergi Oliva , que formou a base de um trabalho com Alberto Atserias no CCC 2013.

Espero que você esteja ciente do resultado clássico de Cook, então talvez você pretenda restringir o poder do sistema de provas em sua terceira condição?

Não sei por que alguém exigiria também fórmulas sat, mas existem alguns artigos sobre a separação entre a resolução Geral e a Árvore, por exemplo [1]. Parece-me que é isso que você quer.

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo e Avi Wigderson. "Perto da separação ideal entre resolução de árvore e resolução geral". Combinatorica 24.4 (2004): 585-603.

Você pode estar interessado em fórmulas SAT com pequena "largura de banda" (logarítmica) ou "largura de árvore". Essas fórmulas são particionáveis ​​recursivamente de tal maneira que o limite de comunicação entre partições é pequeno e, portanto, uma abordagem de programação dinâmica enumerativa pode ser usada para resolvê-las. O tópico foi popular nos anos noventa. Certa vez, contei exatamente o número de ciclos hamiltonianos em um pequeno gráfico de largura de árvore de 24.000 vértices; portanto, os problemas de # P com pequena largura de árvore também são solucionáveis. Bodlaender é uma referência importante.

este artigo a seguir parece próximo ao que é solicitado de algumas maneiras (se não se encaixar, talvez JJ possa esclarecer o porquê). a pergunta quer descartar instâncias PHP (pigeonhole) com base na falta de fórmulas verdadeiras / falsas, mas (conforme citado nas outras respostas) PHP é um dos geradores de casos / instâncias mais bem estudados do lado da teoria e tem sempre foi um gerador de fórmulas satisfatórias / insatisfatórias, embora as fórmulas satisfatórias sejam menos enfatizadas / estudadas.

${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• Resolução tipo árvore é superpolinomialmente mais lenta que a resolução tipo DAG para o princípio Pigeonhole (1999) por Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki

outra abordagem seria seguir um ângulo mais empírico e apenas gerar instâncias aleatórias (presumivelmente em torno do ponto de transição satisfatório fácil-difícil-fácil 50%) e filtrá-las para atender aos critérios estabelecidos. seria necessário implementar implementações de resolução em árvore / resolução DAG ou "sistemas mais fortes".