Raízes inteiras de um polinômio

Que algoritmo podemos usar para encontrar todas as raízes inteiras de um polinômio com coeficientes inteiros? $f(x)$

Observo que Sage pode encontrar as raízes dentro de alguns segundos, mesmo quando todos os coeficientes de são muito grandes. Como é capaz de fazer isso? $f(x)$

ds.algorithms na.numerical-analysis

— user12290
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Você está procurando um algoritmo para retornar uma raiz inteira de um determinado polinômio? Se sim, isso é indecidível e a questão está fora de tópico aqui. Você pode perguntar sobre Ciência da Computação, que tem um escopo mais amplo.

— Kaveh

Aguente. Por que ser indecidível torna a pergunta fora de tópico? Esta é uma pergunta legítima em nível de pesquisa.

— 21413 Jefferson

Então, como Sage faz isso? Ser indecidível - mesmo sendo conhecido como indecidível - não torna o problema teoricamente desinteressante. Cientistas teóricos da computação resolvem problemas indecidíveis o tempo todo - veja, por exemplo, todas as verificações auxiliadas por computador.

— Jeffε

Kaveh, o que você está dizendo não é verdade. O que é indecidível é a resolubilidade das equações diofantinas com muitas variáveis (para que existam muitas soluções reais de maneira infinita e uma esteja procurando por uma inteira / racional). Mas essa pergunta é sobre um polinômio uni-variável , que é obviamente decidível (se for de grau , existem até raízes e pode-se verificar qual é um número inteiro).

f (x)

$f(x)$

f (x)

$f(x)$

d

$d$

d

$d$

— Mahdi Cheraghchi

@Pratik Você não precisa das bases de Gröbner no caso univariado.

— Yuval Filmus

Supondo que os coeficientes de sejam inteiros ou racionais e que você deseja raízes inteiras, a abordagem mais simples é usar o teorema da raiz inteira ou racional. Consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem Conforme observado pelo DW, isso pode ser problemático se o coeficiente constante for difícil de ser fatorado (consulte também /math/123018/polynomial- e raízes inteiras ) $f$

De qualquer forma, a documentação do Sage explica claramente como eles estão fazendo a pesquisa raiz: "O próximo método, que é usado se K é um domínio integral, é tentar fatorar o polinômio. Se isso der certo, para cada grau um fator a * x + b, adicionamos -b / a como raiz (desde que esse quociente esteja realmente no anel desejado) ". Consulte http://www.sagemath.org/doc/reference/polynomial_rings/sage/rings/polynomial/polynomial_element.html .

Portanto, sua pergunta se torna: como eles fatoram polinômios com coeficientes inteiros? Aparentemente, Sage está chamando a NTL para fazer isso (consulte http://www.shoup.net/ntl/doc/ZZXFactoring.txt para obter detalhes sobre NTL).

Se você quiser um método assintoticamente eficiente, consulte o método de Lenstra, Lenstra e Lovasz ( https://openaccess.leidenuniv.nl/handle/1887/3810 ).

— minar
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Obrigado pela dica útil! Fascinante. Você pode estar disposto a editar sua resposta para elaborar como transformar isso em um algoritmo e qual é o tempo de execução? O pior caso de tempo de execução é exponencial (porque pode levar um tempo subexponencial para fatorar e, em seguida, pode haver exponencialmente muitos divisores do coeficiente à esquerda e à direita)? Em caso afirmativo, existem algoritmos melhores ou é o melhor que se pode fazer? Além disso, essa abordagem não encontra apenas as raízes racionais, mas não as irracionais?

— DW

Relendo a questão e vendo que você a interpreta de maneira diferente, não tenho mais certeza, mas pareceu claro para mim e para alguns comentaristas que a pergunta é sobre raízes inteiras. Você não lê dessa maneira?

— minar 18/07/2013

@ Minar, você está certo. Agora que reli a pergunta, parece que sim. Eu devo ter lido a pergunta muito rapidamente. (I inicialmente interpretado a pergunta como implicando que queremos que todas as raízes de um polinômio com coeficientes inteiros, mas no re-ler a pergunta, que parece ser uma má interpretação.)

— DW

Para um método assintoticamente e praticamente eficiente, o algoritmo mais conhecido é de van Hoeij (veja aqui ). Na verdade, NTL parece estar usando.

— 197 Bruno