Generalização de gráficos de largura de árvore delimitados localmente

17

A seguinte classe gráfica é conhecida na literatura?

A classe de gráficos é parametrizada por números inteiros positivos e e contém cada gráfico modo que, para cada vértice , o subgrafo de induziu em todos os vértices na distância no máximo de em tem uma largura de árvore no máximo . $d$ $t$ $G=(V,E)$ $v\in V$ $G$ $d$ $v$ $G$ $t$

Ele generaliza o conceito de largura de árvore limitada localmente e parece útil ao procurar estruturas locais em gráficos.

reference-request graph-theory treewidth

— Serge Gaspers
fonte

11

O conceito de explorar propriedades que um gráfico possui localmente pode ser levado ainda mais longe. Dawar, Grohe e Kreutzer em Excluindo um Menor consideram classes de gráficos que excluem localmente um menor e Dvorak, Kral e Thomas em Decidindo propriedades de primeira ordem para gráficos esparsos considerados classes de gráficos que têm expansão limitada localmente.

Ambas as classes são substituídas por classes de gráficos densos, apresentados por Nesetril e Ossona de Mendez.

Grohe anunciou esta semana na conferência Highlights que Grohe, Kreutzer e Siebertz. provaram que todas as propriedades dos gráficos definíveis na lógica de primeira ordem podem ser resolvidas em tempo quase linear em nenhuma classe densa de gráficos. Isso implica muitos resultados de rastreabilidade de parâmetros fixos em gráficos densos em nenhum lugar, por exemplo, para o conjunto dominante (conectado) e o núcleo do dígrafo (ambos parametrizados pelo tamanho da solução), a árvore Steiner (parametrizada pelo tamanho da árvore) e a satisfação do circuito ( parametrizado pela profundidade do circuito e pelo peso de Hamming da solução).

— Sebastian Siebertz
fonte

9

Não é exatamente isso que você está pedindo, mas está intimamente relacionado e, portanto, pode ser interessante para você:

O conceito de largura de árvore local introduzido em M. Frick, M.Grohe, Decidindo propriedades de primeira ordem de estruturas decomponíveis localmente em árvores é mais geral do que a definição de largura de árvore localmente limitada no artigo da wikipedia a que você se refere. Para cada gráfico , a largura da árvore local de é a função que mapeia um raio para a largura máxima da árvore de entre todos os vértices de , onde é o subgrafo de induzido por vértices na distância no máximo a $G$ $G$ $ltw^G$ $r$ $N^G_r(v)$ $v$ $G$ $N^G_r(v)$ $G$ $r$ $v$ . Uma classe tem delimitada treewidth locais , se existe uma função tal que para cada um e cada um gráfico pertença à classe. $f$ $ltw^G(r) \leq f(r)$ $r$ $G$

— fh
fonte

11

De fato, isso parece mais geral do que a definição na Wikipedia. No entanto, se alguém exigir que a classe de gráficos seja fechada sob subgráficos induzidos, as duas definições serão equivalentes. Observe que o artigo de Frick-Grohe também é citado no artigo da Wikipedia.

— Serge Gaspers