Algoritmos exatos de tempo exponencial para programação 0-1

Existem algoritmos conhecidos para o seguinte problema que superam o algoritmo ingênuo?

Entrada: Um sistema de desigualdades lineares.$Ax \le b$$m$

Saída: Uma solução viável se houver.$x^*\in \{0,1 \}^n$

Suponha que e tenham entradas inteiras. Estou interessado nos piores casos.$A$$b$

Se $m$ for superlinear, esse algoritmo refutaria a hipótese do tempo exponencial forte, pois as fórmulas na forma normal conjuntiva são um caso especial da programação 0-1 e o lema da esparsificação nos permite reduzir $k$ -SAT para CNF-SAT em muitas cláusulas linearmente .

No entanto, existe um algoritmo devido a Impagliazzo, Paturi e a mim mesmo que pode resolver esse sistema de desigualdades se o número de fios, ou seja, o número de coeficientes diferentes de zero em for linear. Em particular, se o número de fios for c n , o algoritmo será executado no tempo 2 ( 1 - s ) n , onde s = $A$$cn$$2^{(1-s)n}$ .$s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

Se for pequeno o suficiente, você poderá fazer melhor que o algoritmo ingênuo, ou seja, melhor que 2 n tempo. Aqui "pequeno o suficiente" significa que m é menor que algo como n / lg n . O tempo de execução ainda será exponencial - por exemplo, pode ser 2 n / 2 -, mas será mais rápido que o ingênuo algoritmo.$m$$2^n$$m$$n/\lg n$$2^{n/2}$

Aliás, parece que isso nos permite resolver o problema em mais de tempo para alguns casos em que a matriz A possui um número super-linear de entradas. Não sei como combinar isso com a outra resposta fornecida aqui. Conseqüentemente, você deve verificar minha resposta com cuidado: isso pode indicar que cometi um erro grave em algum lugar.$2^n$$A$

A abordagem básica: escreva , onde x 0 contém os primeiros n / 2 componentes de x e x 1 contém os últimos n / 2 componentes; e similarmente A = ( A 0 , A 1 ) , onde A 0 tem as n / 2 colunas esquerdas de A e A 1 a n direita$x=(x_0,x_1)$$x_0$$n/2$$x$$x_1$$n/2$$A=(A_0,A_1)$$A_0$$n/2$$A$$A_1$ colunas. Agora A x ≤ b pode ser reescrito no formato$n/2$$Ax \le b$

ou equivalente,

Enumere todas as possibilidades n / 2 para A 0 x 0 e deixe S denotar o conjunto de valores possíveis, ou seja,$2^{n/2}$$A_0 x_0$$S$

Da mesma forma, enumere o conjunto de todas as 2 n / 2 possibilidades de b - A 1 x 1 , ou seja,$T$$2^{n/2}$$b - A_1 x_1$

Agora o problema se torna

Conjuntos dados de tamanho 2 n / 2 não existem, s ∈ S e t ∈ T de tal forma que s ≤ t ?$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$$2^{n/2}$$s\in S$$t \in T$$s\le t$

(Aqui é tomado em sentido horário, ou seja, exigimos que s i ≤ t i para todos os i .)$\le$$s_i \le t_i$$i$

O último problema é discutido no CS.StackExchange e, aparentemente, existe um algoritmo para ele que é executado no tempo . Se m for suficientemente pequeno (por exemplo, menor que n / lg n ), então o tempo total de execução será menor que 2 n , conforme desejado.$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$$m$$n/\lg n$$2^n$

Para ajudar a tornar esse resultado mais plausível, aqui está uma intuição muito grosseira. Se considerarmos o caso extremo em que , é claro que isso pode ser resolvido rapidamente. (Na verdade, há um algoritmo muito mais simples para o caso especial em que m = 1 : deixar x i = 1 se A 1 , i ≤ 0 , caso contrário, x i = 0 ; agora se qualquer solução viável existe, então este x . Irá ser um)$m=1$$m=1$$x_i=1$$A_{1,i}\le 0$$x_i=0$$x$