maximizar MST (G [S]) sobre todos os subgráficos induzidos G [S] em um gráfico métrico

Esse problema já foi estudado antes?

Dado um gráfico métrico não direcionado G (os comprimentos das arestas satisfazem a desigualdade do triângulo), encontre um conjunto S de vértices de modo que o MST (G [S]) seja maximizado, onde MST (G [S]) é a árvore de abrangência mínima do subgráfico induzida por S. Esse problema já foi estudado antes? É NP-difícil? Muito obrigado.

— jian
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Existe um uso direto deste subgráfico na teoria ou na prática?

— Saeed

Se você remover a condição da métrica, é fácil provar que o problema é difícil para o NP?

— Igor Shinkar

Tomar para conter todos os vértices fornece uma aproximação de .

S

$S$

0.5

$0.5$

— Neal Young

É NP-completo por uma redução da cobertura de vértice.

Seja um gráfico no qual é difícil encontrar uma cobertura ideal de vértice. Fazer um novo gráfico com o dobro de vértices, anexando um novo grau e um vértice de cada vértice de . Transforme em um espaço métrico, tornando a distância entre os vértices adjacentes igual a e a distância entre os vértices não adjacentes igual a . Para esse espaço métrico, o peso de uma árvore de abrangência mínima de um subgrafo induzido é igual ao número de vértices mais o número de componentes conectados do subgrafo menos um. $G$ $H$ $G$ $H$ $1$ $2$

Podemos assumir que o subgrafo com o MST mais pesado inclui todos os vértices de grau um, porque a adição de um desses vértices a um subconjunto nunca pode diminuir o número de componentes. Assim, os vértices que foram removidos de modo a formar o subgráfico são um subconjunto de . Podemos supor também que estes vértices removidos formar uma cobertura de vértices de . Pois, se algum outro subgrafo induzido for formado removendo vértices que não formam uma cobertura de vértice e for uma aresta que não está coberta, a remoção de levará a um subgrafo induzido que seja pelo menos tão bom: ele tem menos um vértice mas mais um componente conectado, criado pelo vértice grau um de que foi anexado a . $G$ $G$ $uv$ $v$ $H$ $v$

Assim, o subgráfico óptima de é formada através da remoção de uma cobertura de vértices de . Esse subgrafo terá exatamente componentes (um para cada grau - um vértice adicionado a , sozinho ou conectado a um vértice de ), e um número de vértices igual a quee é o tamanho da capa. Assim, o peso do seu MST será $H$ $G$ $n$ $H$ $G$ $2n-k$ $n=|V(G)|$ $k$ $3n-k+1$ $k$

— David Eppstein
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