Transformação de Beicel-Tarui de cricuits ACC

Estou lendo o apêndice sobre os limites inferiores do ACC para NEXP no livro Complexidade computacional de Arora e Barak . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf Um dos principais lemas é uma transformação de circuitos $ACC^{0}$ em polinômios multilineares sobre os números inteiros com grau polilogarítmico e coeficientes quasipolinomiais ou equivalentemente , a classe de circuito $SYM^{+}$ , que é a classe de profundidade de dois circuitos com portas AND quaseipolinomialmente numerosas no nível inferior com fan-in polilogarítmico e uma porta simétrica no nível superior.

No apêndice do livro, essa transformação tem três etapas, assumindo que o conjunto de portas consiste em OR, mod $2$ , mod $3$ e a constante $1$ . O primeiro passo é reduzir a ventilação das portas OR na ordem polilogarítmica.

Usando o Valente-Vazirani Isolamento Lema, os autores obtêm que dada uma porta OU mais de entradas da forma S R ( x 1 , . . . , X 2 k ) ,, se escolher para ser uma função hash independente pairwise , de a , em seguida, para qualquer diferente de zero , com probabilidade de pelo menos sustentará que .$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$[ 2 k ] { 0 , 1 } x ∈ { 0 , 1 } 2 K 1 / ( 10 k ) Σ i : h ( i ) = 1 x i mod $h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

Não é a probabilidade de , pelo menos, 1 / 2 ? Parece que 1 / 10 k é um fraco limite inferior.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

O segundo passo é avançar para portões aritméticos e empurrar multiplicações para baixo. Nesta etapa, transformaremos os circuitos booleanos com uma determinada string de entrada binária em um circuito aritmético com uma entrada inteira.

Aqui eles notar que é substituído com 1 - x 1 x 2 ⋯ x k , e H O D p ( x 1 , . . . , X K ) é substituído com ( Σ i = 1 , . . . , k x i ) p $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ usando o pequeno teorema de Fermat.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Por que essa substituição fornece um circuito equivalente ?$SYM^{+}$

A probabilidade de pelo menos 1/2? Parece que 1 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$ é um limite inferior fraco.$1/(10k)$

De fato, a resposta é não. (Seria que prende com probabilidade de pelo menos 1 / 2 - ε , se estavam a funcionar com um ε família de hash -biased, e na verdade usando$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$ de hash -biased funções fornece uma maneira de melhorar os parâmetros da construção. Mas a independência pareada não é necessariamenteenviesada em ε .)$\varepsilon$$\varepsilon$

Parece que eles estão perdendo uma etapa adicional aqui. Para aplicar Valiant-Vazirani diretamente, você também precisa escolher aleatoriamente o intervalo da função de hash. Em vez de escolher aleatoriamente independente de pares , parece que você deve escolher aleatório l ∈ { 2 , ... , k + 1 } e depois pegar aleatória independente de pares h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$. (Aqui estou usando deliberadamente a declaração de Arora-Barak de Valiant-Vazirani, encontrada na página 354.) Let ser o número de x i = 1 . Valiant-Vazirani diz que quando você escolheu ℓ tal que 2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1 , então a probabilidade de que Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (! Sobre os inteiros) é de pelo menos 1 / 8 .$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

Portanto, escolhendo aleatoriamente e escolhendo aleatoriamente pares independentes h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } ℓ , então você tem probabilidade pelo menos 1 / ( 8 k ) de que Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2 = 1 . Para simular a escolha aleatória de ℓ no circuito, você pode simplesmente tomar a O R sobre todo o possível $\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$ (seu número é logarítmico em $2^k$ , afinal de contas), de modo que a probabilidade de sucesso torna-se, pelo menos, de novo. Portanto, em vez de ter funções hash O ( k log s ) com intervalo { 0 , 1 } , você desejará O ( k ) conjuntos diferentes de funções hash (cada conjunto tendo um intervalo diferente), com funções hash O ( log s ) em cada conjunto.$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

Por que essa substituição fornece um circuito SYM + equivalente?

Um circuito SYM de AND (ou seja, SYM +) de tamanho é essencialmente equivalente a ter um polinômio multivariado h : { 0 , 1 } n → { 0 , … , K } com no máximo K monômios, uma tabela de pesquisa g : { 0 , … , K } → { 0 , 1 } e computando g ( h ( x 1 , … , x n$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$