Complexidade de comunicação de localização de elemento comum de dois subconjuntos

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Suponha que Alice receba um subconjunto e Bob receba . É prometido que . Qual é a complexidade da comunicação aleatória para determinar o elemento comum ? $S \subseteq \{1,\dots,n\}$ $T \subseteq \{1,\dots,n\}$ $\lvert S \cap T \rvert = 1$ $S \cap T$

Meu interesse nisso é o seguinte. O custo de comunicação zero desse problema é já que Alice e Bob podem adivinhar usando moedas públicas e abortar se acharem errado. No entanto, não consigo pensar em um protocolo de comunicação de custo . Como não se sabe se o custo de comunicação zero é muito menor que o custo de comunicação aleatória, estou pensando que estou perdendo algo óbvio aqui. $\log n$ $S \cap T$ $O(\log n)$

O custo de comunicação zero é definido da seguinte maneira. Depois que Alice e Bob recebem suas contribuições, eles não devem se comunicar. No entanto, eles compartilham moedas públicas e podem responder com "abortar". Se nem aborts partido, eles devem fornecer a resposta correta com de probabilidade. O custo da comunicação zero é o log negativo da probabilidade de não abortar. No arxiv: 1204.1505 , é mostrado (entre outras coisas) que quase todos os limites inferiores conhecidos da complexidade da comunicação são de fato limites inferiores para a comunicação zero. $2/3$

Atualização: @Shitikanth mostrou que a complexidade da comunicação é . Então, aparentemente, isso cria uma lacuna entre o custo de comunicação e o custo de comunicação zero. Mas o arxiv: 1204.1505 parece dar a impressão de que essa lacuna não é conhecida. o que estou perdendo? $\Omega(n)$

communication-complexity

— Dan Stahlke
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1

"Alice e Bob pode apenas adivinhar

usando moedas públicas e abortar se adivinhar errado." Não acho que a definição deles de protocolos de comunicação zero permita que Alice e Bob abortem após adivinhar. Se os dois optarem por responder, eles devem vencer com alta probabilidade.

S \cap T

$S\cap T$

— Shitikanth

1

Desculpe pela linguagem desleixada. Para esclarecer, eles escolhem

usando moedas públicas. Alice aborta se

e Bob aborta se

. Se nenhuma das partes aborta, elas respondem

. Esse tipo de artifício às vezes é chamado de "adivinhação".

i \in {1, \dots, n}

$i \in \{1,\dots,n\}$

i \notin S

$i \not\in S$

i \notin T

$i \not\in T$

i

$i$

— Dan Stahlke

Entendo o que você quer dizer agora. No entanto, esse é apenas um protocolo de comunicação zero possível para esse problema. Os autores descrevem outro protocolo que abortaria com probabilidade de apenas

.

2^{- O (n)}

$2^{-O(n)}$

— Shitikanth 17/08/2013

arxiv: 1204.1505 mostra que o custo de qualquer protocolo possível de comunicação zero (ZC) com probabilidade de abortar uniforme (sobre as entradas) é delimitado por quase todas as técnicas conhecidas usadas para diminuir o custo de comunicação com limite. O protocolo que mencionei custou o

.

\log n

$\log n$

— Dan Stahlke

5

(Redução da disjunção do conjunto)

$S, T \subseteq [n]$ $|S\cap T| \leq 1$ $S$ $T$ $X$ $X$ $S$ $T$ $O(\log n)$

$S$ $T$ $\Omega(n)$

— Shitikanth
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Sim, claro, obrigado! Eu sabia que a resposta deveria envolver disjunção, mas não conseguia vê-la. Embora, antes de encerrar a pergunta, eu gostaria de ver se alguém comenta a aparente diferença entre comunicação e custo de comunicação zero.

— Dan Stahlke

Não sei ao certo o que você quer dizer com custo zero de comunicação. Você pode fornecer um link ou uma referência?

— Shitikanth

Atualizei a pergunta com um link para um artigo e também fornecerá a definição para o custo de ZC.

— Dan Stahlke

S \cap T

$S \cap T$

| S \cap T | = 1

$\lvert S \cap T \rvert = 1$

| S \cap T | > 1

$\lvert S \cap T \rvert > 1$

2

Ω (n)

$\Omega(n)$

1

E Q (s_{1}, t_{1}) \lor E Q (s_{2}, t_{2}) \lor \dots \lor E Q (s_{n}, t_{n}) .

$EQ(s_1,t_1)\lor EQ(s_2,t_2)\lor \dots \lor EQ(s_n,t_n).$

x_{1} y_{1} \lor x_{2} y_{2} \lor \dots \lor x_{n} y_{n} .

$x_1y_1\lor x_2y_2\lor\dots\lor x_ny_n.$ A complexidade da comunicação desses dois problemas é equivalente, já que a igualdade pode ser feita a um custo de comunicação aleatório constante.

$i$ $s_i=t_i$ $IP$ $IP$ $IP$ $\Theta(n)$

Eu espero que isso ajude.

— Philippe Lamontagne
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-3

O protocolo mais rápido que consigo pensar é alternar a troca de um par adjacente aleatório de elementos, jogando fora coisas que são ignoradas.

Alice [1,10,26,49,50] Bob [2,3,25,49,51]

O par adjacente de Alice é [10,26], então Bob joga fora 25

Alice [1,49,50] Bob [2,3,49,51]

O par adjacente de Bob é [3,49] igual a 49, então pare

— Chad Brewbaker
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