Selecione dois números que somam

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Aqui está um problema do vizinho mais próximo.

Dados os reais (muito grande !), Mais o alvo real , encontre e cujo SUM seja o mais próximo de . Permitimos pré-processamento / indexação razoável de (até ), mas no momento da consulta (dado ), o resultado deve ser retornado muito rapidamente (por exemplo, tempo). $a_1, \ldots, a_n$ $n$ $p$ $a_i$ $a_j$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $p$ $O(\log n)$

(Exemplo mais simples: se apenas o ÚNICO mais próximo de , classificaríamos offline, , em seguida, faríamos uma pesquisa binária no momento da consulta, ) $a_i$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

Soluções que não funcionam:

1) Classifique offline e, no momento da consulta, inicie pelas duas extremidades e mova dois ponteiros para dentro ( http://bit.ly/1eKHHDy ). Não é bom, devido ao tempo de consulta . $a_1, \ldots, a_n$ $O(n)$

2) Classifique offline e, no momento da consulta, pegue cada e faça uma pesquisa binária de um "amigo" que ajude a somar algo próximo a . Não é bom, devido ao tempo de consulta . $a_1, \ldots, a_n$ $a_i$ $p$ $O(n \log n)$

3) Classifique todos os pares off-line e faça a pesquisa binária. Não é bom, devido ao pré-processamento de . $(a_{1}, \ldots, a_{n})$ $O(n^2)$

Obrigado!

ps. Generalizações adicionais necessárias para a prática: (1) e são vetores de 50 dimensões, (2) "fecham" a distância do cosseno do vetor e (3) melhor par mais próximo dessa soma, não apenas o melhor. $a_1, \ldots, a_n$ $p$ $k$

ds.algorithms cg.comp-geom ds.data-structures

— Kevin
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Existe um limite no tempo de pré-processamento ou na quantidade de espaço que podemos usar após o pré-processamento? Se estamos limitados ao espaço , você tem algum motivo para acreditar que ele pode ser resolvido em, digamos, tempo? Isso me parece muito improvável.

O (n)

$O(n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— DW

O pré-processamento é limitado a O ( log ). Eu atualizei a declaração do problema.

n

$n$

n

$n$

— 21413 Kevin

Não tenho nenhum motivo para acreditar que a consulta possa ser rápida, mas muitos resultados úteis para os vizinhos mais próximos (árvores-kd, hash sensível à localidade etc.) parecem contra-intuitivamente bons para mim. Uma solução aproximada usando o hash sensível à localidade seria adequada para uso prático.

— 21713 Kevin

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Isso é quase certamente impossível.

$P(n)$ $Q(n)$ $n$ $P(n)+n\cdot Q(n)$ $a_k$ $a_i+a_j$ $-a_k$ $-a_k$

$O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$

Portanto, supondo que a conjectura esteja correta, seu problema requer tempo de pré-processamento (quase) quadrático ou tempo de consulta (quase) linear.

— Jeffε
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Se você pode usar espaço e tempo ilimitados durante o pré-processamento, a solução a seguir atende aos seus requisitos:

$\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$ $O(n^2)$ $O(n^2)$
$a_i,a_j$ $a_i+a_j$ $p$ $O(\lg n)$

Se essa solução não for aceitável, você deve refletir sobre seus requisitos com mais cuidado e editar a pergunta de acordo.

— DW
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Olá e obrigado! Mas sua solução é igual à minha solução nº 3, o que é problemático devido ao tempo de pré-processamento de O (n ^ 2). No meu caso, n é muito grande (por exemplo, 1m) e devo evitar operações O (n ^ 2).

— 21713 Kevin