Funções aleatórias de baixo grau como um polinômio real

Existe uma maneira (razoável) de amostrar uma função booleana aleatória uniformemente cujo grau como um polinômio real é no máximo d ?$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$d$

EDIT: Nisan e Szegedy mostraram que uma função do grau depende de no máximo d 2 d coordenadas, portanto, podemos assumir que n ≤ d 2 d . Os problemas que vejo são os seguintes: 1) Por um lado, se escolher uma função booleana aleatória d 2 d coordenadas, então seu grau será perto d 2 d , muito maior do que d . 2) Por outro lado, se escolhermos cada coeficiente de grau no máximo d aleatoriamente, a função não será booleana.$d$$d2^d$$n \leq d2^d$$d2^d$$d2^d$$d$$d$

Portanto, a pergunta é: existe uma maneira de provar uma função booleana de baixo grau que evita esses dois problemas?

Aqui está um algoritmo que supera as tentativas triviais.

O seguinte é um fato conhecido (Exercício 1.12 no livro de O'Donnell): Se $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ é uma função booleana que possui grau $\le d$ como polinômio, então todo coeficiente de Fourier de $f$ , f ( S ) é um múltiplo inteiro de 2 - d . Usando Cauchy-Schwarz e Parseval, obtém-se que existem no máximo 4 d coeficientes de Fourier diferentes de zero e ∑ S | ˆ$\hat{f}(S)$$2^{-d}$$4^d$$\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$.

Isso sugere um método de amostragem -

1. Escolha números inteiros aleatórios não negativos $a_S$ para todos os conjuntos $S\subseteq[n]$ de tamanho no máximo $d$ , que somam $\le 4^d$ .
2. Deixe- $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$.
3. Verifique se $f$ é booleano. Se sim, retorne $f$ . Senão, volte para $1$ .

Observe que, para cada grau $\le d$ polinômio $f$ exatamente uma escolha de números inteiros aleatórios na Etapa 1 gerará o polinômio $f$ . A probabilidade de obter um grau específico $\le d$ polinômio é Portanto, precisamos repetir esse processo no máximo vezes, na expectativa, antes de parar.

Resta mostrar como executar a etapa 3. Pode-se definir . Verifique se (que deve segurar por Nisan-Szegedy para cada função booleana) e depois avaliar em todas as atribuições possíveis para as variáveis . Isso pode ser feito no tempo . Gur e Tamuz oferecem um algoritmo aleatório muito mais rápido para esta tarefa, no entanto, como essa parte não domina a complexidade do tempo, isso é suficiente.$A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$$|A| \le d 2^d$$f$$A$$2^{d 2^d}$

No geral, o algoritmo produz uma amostra aleatória de um grau polinômio no tempo . Sob a suposição de que a complexidade do tempo é .$\le d$$O(\frac{n}{d})^{d4^d}$$n \le d2^d$$2^{O(d^2 4^d)}$

Este não é um algoritmo de amostragem de tempo polinomial, embora seja muito mais rápido do que amostrar uma função completamente aleatória (nesse caso, a probabilidade de obter um grau específico polinômio é ).$\le d$$1/2^{2^n}$