Dureza de uma subcaixa de Set Cover

Quão difícil é o problema Set Cover se o número de elementos estiver delimitado por alguma função (por exemplo, ) em que é o tamanho da instância do problema. Formalmente,$\log n$$n$

Deixe e que e . Quão difícil é decidir o seguinte problemaF = { S 1 , ⋯ , S n } S i ⊆ U m = O ( log n $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

E se ?$m=O(\sqrt{n})$

Qualquer resultado baseado em conjecturas conhecidas (por exemplo, Unique Games, ETH) é bom.

Edit 1: Uma motivação para esse problema é descobrir quando o problema fica difícil à medida que aumenta. Claramente, o problema está em P se e NP-rígido se . Qual é o limite para a dureza NP do problema?m = O ( 1 ) m = O ( n $m$$m=O(1)$$m=O(n)$

Edit 2: Existe um algoritmo trivial para decidi-lo no tempo (que enumera todos os subconjuntos de tamanho de ). Portanto, o problema não é NP-difícil se pois ETH implica que não há algoritmo no tempo para qualquer NP-rígido problem (onde é o tamanho do problema NP-hard).m F m = O ( log n ) O ( 2 n o ( 1 ) ) $O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

Quando , você pode usar a programação dinâmica para encontrar o melhor em tempo polinomial. A tabela contém células com valor booleano para cada e , indicando se existem conjuntos de que cobrem o elementos em .$m = O(\log n)$ ℓ ∈ { 0 , ... , k } X ⊆ U ℓ $T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

Quando , digamos , o problema permanece NP-difícil. Dada uma instância de SET-COVER, adicione novos elementos em≤C$m = O(\sqrt{n})$ mx1,…,xm(2C - 1 m)2novos conjuntos, consistindo em subconjuntos não vazios dos novos elementos, incluindo{x1,…,xm}(quandomfor grande o suficiente,(2C - 1 m)2<2m). Aumente tambémkem um. Os novosm,nsãom′=$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$$m,n$ e n ′ = n + ( 2 C - 1 m ) 2 ≥ ( C - 1 m ′ ) 2 .$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

O caso de é em n O ( c ) tempo, como observado por Yuval, mas também observe que k = O ( 1 ) você pode resolver o problema em tempo de O ( n k ⋅ m ) (tempo polinomial) por Pesquisa exaustiva. Supondo a hipótese de tempo exponencial forte (que CNF-SAT em fórmulas com N variáveis ​​e cláusulas O ( N ) requer pelo menos 2 N - o ( N $m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$tempo), esses dois limites de tempo são o "limite" do que podemos esperar no tempo polinomial, no sentido a seguir.

Na minha papel SODA'10 com Mihai Patrascu nós estudamos o problema essencialmente isomórfica de encontrar um conjunto dominante de tamanho em uma arbitrária n gráfico -node, mostrando que, se k -dominating conjunto pode ser resolvido em n k - ε tempo para alguns k ≥ 2 e ε > 0 , então existe uma 2 N ( 1 - ε / 2 ) p o l y ( H ) algoritmo de tempo para CNF-SAT em N variáveis e $k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$$k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$ cláusulas.

Observando a relação entre vizinhanças de vértices em uma instância de conjunto dominante e conjuntos em uma instância de cobertura de conjunto e inspecionando a redução, você verá que essa redução também mostra a solução de -Set Cover com n conjuntos em um universo de tamanho m em n k - ε ⋅ f ( m ) time implica um algoritmo CNF-SAT para fórmulas CNF com cláusulas M e N variáveis ​​rodando em 2 N ( 1 - ε / 2 ) ⋅ f ( M $k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$Tempo. Para fins de refutar o Strong ETH, basta resolver o CNF-SAT no caso em que . Portanto, um algoritmo para o seu problema em execução em n k - ε ⋅ 2 m / α ( m ) para uma função ilimitada α ( m ) produziria um novo algoritmo SAT surpreendente.$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$$\alpha(m)$