Qual é o problema aberto mais antigo do TCS?

Esse problema é inspirado nessa pergunta do MO , que achei muito interessante.

Qual é o problema aberto mais antigo do TCS?

Claramente, esta pergunta precisa de alguns esclarecimentos.

Primeiro, o que é TCS? Eu acho que a existência de números ímpares perfeitos não é TCS. Eu diria que o décimo problema de Hilbert é o TCS. Penso que problemas como "Podemos construir X com uma régua e uma bússola" também são TCS, pois estão solicitando um algoritmo em um modelo restrito de computação. Pode não haver uma maneira rigorosa de definir o que é um problema do TCS, mas use seu julgamento. Talvez um teste seja "Se isso for resolvido, provavelmente apareceria no STOC / FOCS? O pesquisador que o resolveu provavelmente seria um cientista da computação teórico?"

Segundo, o que é "mais antigo"? Quero dizer mais antigo por data. A data prevista também deve ser verificável, mas não acho que isso deva ser muito difícil.

Terceiro, o que é um "problema em aberto"? Por "problema aberto", quero dizer um problema que foi considerado especificamente aberto em algum momento. Talvez tenha aparecido no final de um artigo na seção de problemas abertos, ou talvez haja evidências de que algumas pessoas tenham trabalhado e falhado, ou talvez existam provas incorretas na literatura, o que sugere que ele foi estudado. Um exemplo de algo que não se encaixa nesse critério: "Os gregos estudaram os objetos X e Y. Z é claramente um objeto intermediário, certamente eles se perguntaram se ele poderia ser construído". Se não houver literatura sobre Z nesse período, não haverá um problema em aberto nesse período.

Quarto, o que quero dizer com "problema"? Quero dizer uma pergunta específica "sim / não", e não algo como "Caracterizar todos os objetos X com a propriedade Y", porque essas perguntas geralmente não têm uma resposta satisfatória. Muitas vezes haverá discordância quanto à questão de ter sido resolvida. Não vamos entrar em tais questões aqui. Se não é uma pergunta de sim / não, mas é claro que é realmente aberto, tudo bem também. (Caso isso não esteja claro, por "problema" quero dizer um problema formalmente declarado. Por favor, não converta algumas lendas populares sobre jogos de azar no século 16 em uma pergunta sobre BPP e PSPACE.)

Por fim, como essa não é uma pergunta da lista grande, poste uma resposta somente se você achar que é mais antiga que as respostas já postadas (ou se você acha que as respostas postadas não satisfazem alguma outra condição - como não são TCS, ou eles não estão abertos). Esta não é uma coleção indiscriminada de velhos problemas abertos.

Qual é a complexidade computacional da multiplicação inteira? Indiscutivelmente, essa pergunta remonta pelo menos ao algoritmo de 'duplicação e mediação' para multiplicação de números inteiros descrito no Rhind Mathematics Papyrus, que foi escrito por volta de 1650 aC , mas afirma ser uma cópia de um documento significativamente mais antigo.

É certo que o papiro Rhind não considerou explicitamente a complexidade do seu algoritmo. Então, talvez uma resposta melhor seja: Qual é a complexidade de resolver sistemas de equações lineares? A pesquisa de algoritmos eficientes para resolver sistemas lineares remonta pelo menos ao comentário de Liu Hui, publicado em 263 dC , em Os nove capítulos da arte matemática . Especificamente, Liu Hui compara duas variantes do que agora é reconhecido como eliminação gaussiana e conta o número de operações aritméticas usadas por cada uma, com o objetivo explícito de encontrar o método mais eficiente.

Ambas as questões ainda são alvos de pesquisa ativa.

A busca por um algoritmo eficiente para fatoração parece remontar a pelo menos Gauss. O artigo 329 das Disquitiones Arithmeticae de Gauss (1801) tinha a seguinte citação ( fonte ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Obviamente, é verdade que Gauss não definiu formalmente exatamente o que ele desejava do algoritmo de fatoração. Ele falou no mesmo artigo, porém, sobre o fato de que todos os algoritmos de teste de primalidade conhecidos na época eram muito "trabalhosos e prolixos".

O seguinte, citado de

• Goldwasser, S. e Micali, S. 1982. Criptografia probabilística e como jogar pôquer mental, mantendo em segredo todas as informações parciais. Nos Anais do Décimo Quarto Simpósio Anual da ACM sobre Teoria da Computação (San Francisco, Califórnia, Estados Unidos, 05 a 07 de maio de 1982). STOC '82. ACM, Nova Iorque, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Refere-se a outro problema que remonta a Disquitiones Arithmeticae de Gauss (1801):

Se a fatoração de N não for conhecida e , onde($(\frac{q}{N})=1$denota o símbolo de Jacobi, então não há procedimento conhecido para decidir se q é um resíduo quadrático mod N. Este problema de decisão é bem conhecido por ser difícil na Teoria dos Números. É um dosquatroprincipaisproblemas algorítmicosdiscutidos por Gauss em seu "Disquisitiones Arithmeticae" (1801). Uma solução polinomial para isso implicaria uma solução polinomial para outros problemas em aberto na Teoria dos Números, como decidir se um N composto, cuja fatoração não é conhecida, é o produto de 2 ou 3 primos; veja os problemas abertos 9 e 15 emAdleman.$(\frac{q}{N})$

PS: Até agora, conhecemos dois dos quatro problemas algorítmicos :

1. Factoring (como mencionado por arnab);
2. Decidir a residência quadrática.

Quais são os dois problemas restantes descritos por Gauss?

Na literatura de nosso país, há um ditado, que eu traduzo literalmente como "O enigma se torna fácil quando é resolvido". Embora não seja uma boa tradução, refere-se ao fato de que, quando você tiver a solução, poderá verificá-la facilmente; antes disso, o enigma parece muito difícil.

Isso se refere ao agora famoso problema "FP vs. FNP": Se FNP = FP, a verificação da resposta ao enigma é tão fácil quanto encontrá-lo. No entanto, se FNP ≠ FP, existem "enigmas" para os quais encontrar uma solução é muito mais difícil do que verificar a solução.

Acredito que esse problema seja o mais antigo problema aberto do TCS, mas sua formulação rigorosa remonta a apenas 30 anos atrás!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

EDIT: "Podemos fatorar números no poli-tempo" é outro problema aberto do TCS, mas acho que é mais novo que o problema mencionado acima.

Aqui está duas listas de problemas abertos do TCS na Web:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

Também temos essa lista aqui no CSTheory.

Eu questiono sua teoria dos números excluídos, envolvendo questões sobre se alguns conjuntos teóricos dos números são finitos ou infinitos como parte do TCS e, definitivamente, argumentariam o contrário. os gregos questionaram se:

• existem números perfeitos ímpares? [possivelmente considerado por euclides]

• existe um número infinito de primos gêmeos?

$TM_x$$TM_y$ que utiliza um grande limite superior na busca de um dos primos gêmeos encontrado após um par dos primos gêmeos antes. isso para?

então, sem dúvida, esses são dois problemas algorítmicos antigos e os gregos foram os pioneiros nos primeiros TCS, principalmente na forma de teoria dos números e os problemas da teoria dos números iniciais são apenas casos especiais de problema de parada de Turing e evidências circunstanciais precoces de sua dificuldade. e existe uma estreita relação entre perguntar sobre / encontrar / procurar provas e a teoria da indecidibilidade.

indiscutivelmente, uma nova pesquisa está mostrando que a conjectura de Collatz, antes considerada uma curiosidade da teoria dos números, tem vínculos profundos com a teoria da computabilidade e pode estar no limite entre problemas indecidíveis e decidíveis. também o exemplo que você cita do décimo problema de hilberts mostra um vínculo muito fundamental entre a teoria dos números e o TCS.

duas outras questões algorítmicas antigas:

• o que é um algoritmo eficiente ou mais eficiente para calcular o maior divisor comum do MDC?

• o que é um algoritmo eficiente ou mais eficiente para calcular números primos?

concordamos que a 2ª questão está intimamente relacionada ao fatoração, mas não é a mesma coisa, é claro. foi considerado pela peneira e euclides de eratóstenes. é claro que recentemente foi demonstrado que ele está em P pelo AKS, mas mesmo assim o algoritmo não se mostrou totalmente ideal.

existe uma pesquisa TCS muito moderna sobre o algoritmo euclides gcd (ou seja, século 20) que mostrou que os números de fibonacci fornecem o pior desempenho possível. [não tenho certeza quem primeiro mostrou isso]

até que o algoritmo de euclides seja comprovadamente ideal, a computação sem dúvida eficiente do gcd ainda está aberta.

Não tenho certeza da gravidade dessa resposta, mas ...

Realmente depende de quão amplamente você está disposto a definir sua pergunta.

Certamente "alguém pode construir uma máquina inteligente?" é a mais antiga questão aberta no CS que iniciou a ciência da computação, mas provavelmente é antiga por um milênio ou dois do que o CS. Não? (É uma questão de teoria, pois pede uma resposta - não para a própria máquina ...)

Uma referência natural à busca de uma máquina inteligente seria o Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Posso responder à sua pergunta com 100% de certeza por um período de tempo. Se considerarmos o período desde o artigo seminal de Hartmanis e Stearns até qualquer ponto no futuro, o problema mais antigo no TCS que ainda está aberto é:

Qual é a sobrecarga mínima necessária para a simulação de TMs determinísticas?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$