Árvores abrangentes

Uma árvore de abrangência de um gráfico é chamada de árvore de completude se o conjunto de folhas induzir um subgráfico completo no gráfico do host. Dado um gráfico e um número inteiro , qual é a complexidade de decidir se contém uma árvore de completude com no máximo folhas?k G $G$$k$$G$$k$

Uma razão para fazer essa pergunta é que o problema correspondente para árvores de independência é NP-completo; aqui, uma árvore de independência é uma árvore de abrangência, de modo que o conjunto de suas folhas é um conjunto independente no gráfico do host.

Outra razão é essa pergunta (e as respostas correspondentes). Acontece que toda árvore de abrangência de é uma árvore de completude se e somente se for um gráfico ou um ciclo completo. $G$$G$

Em um gráfico sem triângulo, uma árvore de completude deve ser um ciclo hamiltoniano (menos uma de suas arestas). O ISGCI diz que o ciclo hamiltoniano é NP-completo em gráficos sem triângulo. Portanto, é também encontrar uma árvore de completude (independentemente de qualquer restrição no número máximo de folhas).

Não posso derrotar David na elegância de sua resposta. Mas, depois de gastar muito tempo pensando nesse problema, gostaria de trair minha solução para você;)

$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$$G_1$$v_2$$G_2$$y$

$G$$H$$k$