Cobertura do conjunto de frequências limitadas de cardinalidade limitada: dureza de aproximação

Considere o problema mínimo de cobertura do conjunto com as seguintes restrições: cada conjunto contém no máximo $k$ elementos e cada elemento do universo ocorre no máximo $f$ conjuntos.

• Exemplo: o caso $k = 4$ e $f = 2$ é equivalente ao problema de cobertura mínima de vértice em gráficos com o máximo de grau 4.

Deixe $a(k,f) > 1$ ser o maior valor tal que encontrar um $a(k,f)$ -approximation do problema de cobertura conjunto mínimo com os parâmetros $k$ e $f$ é NP-hard.

• Exemplo: $a(4,2) \ge 1.0128$ ( Berman e Karpinski 1999 ).

Pergunta: Temos uma referência que resume os limites inferiores mais fortes conhecidos em $a(k,f)$ ? Em particular, eu estou interessado em valores concretos no caso em que ambos $k$ e $f$ são pequenos, mas $f > 2$ .

Versões restritas do problema de cobertura do conjunto geralmente são convenientes em reduções; normalmente há alguma liberdade na escolha dos valores de $k$ e $f$ , e mais informações sobre $a(k,f)$ ajudaria a escolher os valores corretos que proporcionam os mais fortes resultados de dureza. As referências aqui , aqui e aqui fornecem um ponto de partida, mas as informações são um pouco desatualizadas e fragmentárias. Eu queria saber se existe uma fonte mais completa e atualizada?

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , como observado por Lev.
• Se a conjetura de jogos únicos for verdadeira, então , o que é rígido (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Ignorando ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (trivial).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

O único resultado que sei que combina os dois parâmetros é

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ para fixo ou crescendo lentamente com (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

Existe uma conexão entre esse problema e o problema (Fraco) de Conjunto Independente, mas não sei exatamente como eles estão relacionados em termos de aproximabilidade. Eu recomendaria investigar isso, talvez começando aqui: [PDF] .

Usando, como na resposta de James King, a notação para a melhor aproximação polinomial possível do tempo da cobertura de vértices em hipergrafos uniformes de grau no máximo , também temos$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

do algoritmo de aproximação ganancioso para a cobertura do conjunto: a cobertura do vértice em hipergráficos de grau no máximo é igual ao problema da cobertura do conjunto com conjuntos de tamanho no máximo , para os quais o algoritmo ganancioso tem uma taxa de aproximação no máximo , onde é a função harmônica.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

No presente trabalho I mostram que

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

a menos que , alterando os parâmetros em uma redução de Feige.$P=NP$

Apenas no caso de você ainda não o encontrar; o resultado mais recente da dureza para a cobertura de vértice de grau delimitado que encontrei em pesquisas recentes é Chlebik & Chlebikova , por exemplo, cerca de 1,01-dureza em gráficos cúbicos.

Isso não responde bem à sua pergunta, mas talvez possa ajudar - existe um artigo [Dinur et al. 2004], que abrange f> 2 (mas parece não corrigir k).