Número de ciclos em um gráfico

Quantos ciclos $C_k$ $(k \geq 3)$ existem em um gráfico de $n$ vértices, de modo que o gráfico não possua nenhum ciclo $C_m$ $(m>k)$ .

Por exemplo $n=5$ , $k=3$ , em seguida gráfico terá no máximo dois $C_3$ 's de modo a que $G$ não terá qualquer $C_k (k > 3).$

Penso que existem ciclos que satisfazem as condições acima. $O(n)$

Alguém pode me ajudar.

graph-theory graph-algorithms

— Kumar
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você está falando de ciclos induzidos por vértices? ciclos disjuntos?

— Igor Shinkar

A resposta pode depender da paridade de

. Por exemplo, considere uma explosão equilibrada de 5 ciclos. Este gráfico não contém 6-ciclos, mas contém

induzida por 5-ciclos.

m - k

$m-k$

Θ (n^{5})

$\Theta(n^5)$

— Igor Shinkar

@IgorShinkar Li a pergunta como "qual é o número máximo de

-cycles em um gráfico

-vertex que não possui

-cycle para qualquer

?" então

não é um parâmetro, que é universalmente quantificada

k

$k$

n

$n$

m

$m$

m > k

$m > k$

m

$m$

— Sasho Nikolov

Suponho que você esteja falando de ciclos induzidos (buracos). Se você deseja o número mínimo, certamente é 0, um gráfico vazio. Se você deseja o número máximo, é n ^ 3 para k = 3 (considere um gráfico completo).

— Yixin Cao 28/09

@YixinCao Para k = 3, se você considerar um gráfico completo com vértices 'n', teremos um ciclo cujo comprimento é maior que 3. Estou procurando pelo número máximo de ciclos de comprimento k em um gráfico, para que o gráfico não deva conter qualquer ciclo de comprimento mais do que k

— Kumar

Respostas:

Não é menos que . Para par, a duração máxima de um ciclo no gráfico bipartido completo é , e o número de ciclos de comprimento é $O(n)$ $k=3$ $k$ $K_{n,k/2}$ $k$ $k$ . Por exemplo,tem um número quadrático de 4 ciclos, mas não ciclos maiores que 4. $(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$ $K_{2,n}$

Por outro lado, para qualquer limite constante na duração do ciclo mais longo, o número de triângulos é realmente . Aqui está uma prova rápida: em uma primeira árvore de pesquisa profunda, cada aresta vai da parte inferior de seus dois pontos de extremidade a um ancestral no máximo passos para trás, de modo que qualquer folha da árvore tem grau no máximo e pertence a no mais $k$ $O(n)$ $k-1$ $k-1$ triângulos. Agora remova a folha e induza. $\binom{k-1}{2}$

— David Eppstein
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sim, você é :) direita

— virgi

Eu escrevi um pequeno programa clingo para verificar os valores pequenos (ele pode lidar rapidamente com gráficos de até 7 vértices. Além disso, o aterramento pode demorar um pouco):

Eu peguei essa mesa

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

Aqui está o programa:

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.

— dspyz
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