Problemas diretos de NP em DAGs

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A largura da árvore mede o quão perto um gráfico está de uma árvore. Vários problemas difíceis de NP são tratáveis em gráficos com largura de árvore delimitada. Se um problema persistir com NP em árvores, a largura da árvore não pode nos salvar. Essa foi a motivação por trás de uma das minhas perguntas anteriores, pedindo problemas difíceis de NP nas árvores.

Existem várias versões direcionadas da largura da árvore que medem a proximidade de um gráfico direcionado a um gráfico acíclico direcionado (DAG). Quais são alguns problemas direcionados que permanecem difíceis de usar NP nos DAGs? Um problema direcionado faz uso essencial das direções das arestas. Por exemplo, o caminho hamiltoniano é um problema direcionado, enquanto a cobertura de vértices não é. Uma das respostas à minha pergunta anterior deu uma receita geral para gerar problemas difíceis para as árvores. Existe tal receita para DAGs?

np-hardness directed-acyclic-graph

— Shiva Kintali
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Isso visa apenas responder parcialmente à primeira pergunta do post:

Quais são alguns problemas direcionados que permanecem difíceis de usar NP nos DAGs?

Em [1], são apresentados alguns problemas naturais em gráficos direcionados que permanecem difíceis de usar NP em DAGs. A motivação do artigo é encontrar uma "boa" medida semelhante à largura da árvore para os dígrafos. Eles argumentam que a desvantagem de muitas medidas para os dígrafos é que eles são constantes para os DAGs, mas muitas contrapartes direcionadas de problemas naturais permanecem duras para os DAGs. Para mais informações sobre esse tópico, consulte também [2] e as referências desses documentos.

[1] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Alexander Langer, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith: Sobre medidas de largura de dígrafos em algoritmos parametrizados. IWPEC 2009: 185-197. Versão completa

[2] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Daniel Meister, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith e Somnath Sikdar: existem boas medidas de largura do dígrafo ?. IPEC 2010, para aparecer. arXiv

— Serge Gaspers
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Sabe-se que vários problemas de roteamento são difíceis de NP e até difíceis de se aproximar de fatores polinomiais em DAGs. Isso inclui problemas como caminhos máximos de desconexão de borda e minimização de congestionamento. Veja os artigos de Andrews, Chuzhoy, Khanna, Zhang e outros para mais dicas.

— Chandra Chekuri
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$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$ $G$ $G'$ $E(x,y)$ $\varphi$ $E(x,y)\lor E(y,x)$ $G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

— Regularidade
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Parece que esse problema não está usando as instruções das bordas. Estou procurando problemas direcionados.

— Shiva Kintali 5/10/10

@Shiva: Por que isso não atende aos seus critérios para um problema direcionado?

— András Salamon

@ András: A coloração do gráfico se preocupa com a presença de uma aresta (u, v). Não importa se a aresta é direcionada de u para v ou de v para u. Por outro lado, o Caminho Hamiltoniano usa as direções das arestas. É possível alterar as direções de algumas arestas e converter uma instância YES em uma instância NO.

— Shiva Kintali 5/10/10

@Shiva: Então você quer uma propriedade que seja expressa por uma fórmula que não seja simétrica (invariável sob permutação de variáveis)?

— András Salamon

@ András: Exatamente.

— Shiva Kintali 06/10/10

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O famoso problema OPEN [8] da lista de Garey e Johnson está além de P, mas pode ser provado ser NP-C. Esse problema está no DAG. A cada rodada, você pode excluir no máximo três vértices que não têm aresta de entrada. Decida se todos os vértices do DAG podem ser excluídos em K rodadas? ABERTO desde 1970.

— Peng Zhang
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