Bijections monótonos entre listas de intervalos

Eu tenho o seguinte problema:

Entrada: dois conjuntos de intervalos e (todos os pontos de extremidade são inteiros). Consulta: existe uma bijeção monótona ?T f : S → $S$$T$
$f:S \to T$

O bijeç~ao é monótona wrt da ordem inclusão conjunto em e . T ∀ X ⊆ Y ∈ S , F ( X ) ⊆ f ( Y $S$$T$

[Não estou exigindo a condição inversa aqui. Atualização: se a condição inversa fosse necessária, ou seja, , isso seria em PTIME porque equivale a teste de isomorfismo da inclusão correspondente posets (que têm dimensão de ordem 2 por construção), que está em PTIME por Möhring, Classes computacionalmente tratáveis ​​de conjuntos ordenados , Teorema 5.10, p. 61$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

O problema está em : podemos verificar com eficiência se um dado é uma bijeção monótona.$\mathsf{NP}$$f$

Existe um algoritmo de tempo polinomial para esse problema? Ou é -hard?$\mathsf{NP}$

A questão pode ser declarada de maneira mais geral como a existência de uma bijeção monótona entre dois posets dados da dimensão de ordem 2.

Usando uma redução inspirada nas respostas a esta pergunta , sei que o problema é -hard quando as dimensões não são restritas. No entanto, não está claro se a redução também funcionaria quando as dimensões forem restritas.$\mathsf{NP}$

Também estou interessado em saber sobre tratabilidade quando a dimensão é apenas delimitada por alguma constante arbitrária (não apenas 2).

Aqui está uma tentativa de provar que o problema sem a condição reversa é NP-difícil.

A idéia básica é que intervalos separados em como este:$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

pode ter um mapeamento válido para uma " pirâmide " em :$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

A redução é da 3-Partição Unária (que é o NPC). Dado números inteiros e um número inteiro , existe uma partição de A nos conjuntos de modo que todo tenha exatamente 3 elementos e a soma deles é ?$3m$$A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$$B$$m$$A_1,...,A_m$$A_i$$B$

Suponha que$max = \sum a_i + 3m$

Construímos adicionando intervalos base de de comprimento (linhas vermelhas na figura); no topo de cada intervalo base, adicionamos uma pirâmide de marcadores de intervalos de comprimento crescente (linhas verdes na figura). Para basear o intervalo , também adicionamos intervalos unitários separados de comprimento 1 (linhas pretas na figura). Finalmente, adicionamos um longo intervalo para cobrir todo o (linha azul na figura).3 m B I i 3 * m a x m um X B I i um i G B I $S$$3m$ $BI_i$$3*max$$max$$BI_i$$a_i$$L$$BI_i$

$T$$L$$m$ $G_j$$G_j$$B$

Suponha que exista uma bijeção entre S e T que preserve a inclusão do intervalo (em uma direção de S para T).

$max$$BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$$S$$G_j$$BI_{j_k}$$G_j$

De maneira semelhante, pode-se provar que, se existir uma bijeção, o problema unário de 3 partições original terá uma solução.

$m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

Nota: como observado nos comentários, os intervalos azuis L em S e T não são essenciais para a redução.

$I_i \subseteq I_j$$(I_j \rightarrow I_i)$