Crescimento comparado do número de classes sintáticas e de Nerode.


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Para uma linguagem L ⊆ Σ ^ * , defina a congruência sintática de L como a menor congruência em Σ ^ * que satura L , ou seja:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Agora defina a equivalência de Nerode como a seguinte congruência correta:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Seja [u] a classe de equivalência de u em relação a e 〈u〉 em relação a . Agora defina i (n) como o número de [u] diferente para u de tamanho n e defina j (n) de maneira semelhante para .

Agora, a pergunta é: como as duas funções se relacionam?

Por exemplo, um teorema padrão (Kleene-Schützenberger, acredito) diz que i (n) é limitado por uma constante sempre que j (n) é e reciprocamente.

Pergunta: Existe algum outro resultado nessa tendência? E se um deles for polinomial, por exemplo?


Certamente i (n) é sempre um limite superior em j (n), então presumivelmente você está apenas perguntando sobre a implicação na outra direção, por exemplo: se j (n) é delimitado acima por um polinômio, eu (n) deve ser também?
Joshua Grochow

Bem, o contrário ainda faz sentido, não? Por exemplo, posso perguntar: se i (n) é exponencial, existe um critério simples a partir do qual posso concluir que j (n) também é exponencial?
Michaël Cadilhac

De fato. Eu só estava pensando em termos de limites superiores, mas é claro que você está correto.
Joshua Grochow 18/08/10

Respostas:


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Parece que este artigo http://arxiv.org/abs/1010.3263 pode ser relevante para sua pergunta.

O resumo declara:

nnn-1 1nn-1 1+n-1 1nn-2+(n-2)2n-2+1 1

Assim, até onde eu entendo, isso responde à sua pergunta sobre os tamanhos do semigrupo sintático e de Myhill-Nerode: em geral, a congruência sintática pode ter exponencialmente muitas classes do que a relação Myhill-Nerode.

nnn


Você poderia expandir sua resposta para explicar a relevância?
Dave Clarke

Basta olhar através do papel!
Sergey

Desculpe, inseri um link inválido. Na verdade, eu pretendia dar não a resposta (em certo sentido, a resposta está contida no artigo que mencionei), mas um comentário, mas infelizmente não sei como fazê-lo tecnicamente
Sergey

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A propósito, como se segue no artigo listado acima, poderia haver exponencialmente mais classes sintáticas do que as classes Myhill-Nerode.
Sergey

Seria bom se você resumisse o resultado do artigo que é relevante para essa pergunta, e ele se tornará uma resposta perfeita aqui. Por favor :) Alguns de nós (eu) estamos muito interessados ​​em ver respostas para uma pergunta sem resposta de longa data aqui!
Hsien-Chih Chang # 09/02
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