Menor circuito booleano para gerar um idioma

Considere uma linguagem não vazia de cadeias binárias de comprimento . Posso descrever com um circuito booleano com entradas e uma saída tal que seja verdadeira se : isso é bem conhecido.n L C n C ( w ) w ∈ $L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

No entanto, quero representar com um Booleano circuito de com saídas e um certo número de entradas, por exemplo , de tal modo que o conjunto dos valores de saída para cada um dos possíveis entradas é exactamente .C ′ n m C ′ 2 m$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Dado , como posso encontrar um circuito de tamanho mínimo e qual é a complexidade? Existe alguma relação entre limites conhecidos sobre o tamanho dos circuitos do primeiro tipo ( ) e circuitos deste segundo tipo ( ), ou a complexidade de encontrá-los?C ′ C C $L$$C'$$C$$C'$

(Observe que existe algum tipo de dualidade no seguinte sentido: dado , eu posso facilmente decidir se uma palavra de entrada está em avaliando o circuito, mas é geralmente difícil para NP encontrar alguma palavra em encontrando Dado , é igualmente NP difícil decidir se alguma palavra de entrada está em porque eu tenho que ver se uma atribuição produz como saída, mas é fácil encontrar alguma palavra em avaliando o circuito em qualquer entrada arbitrária.)w L L C ′ w L w $C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Vou apontar uma conexão simples com circuitos não determinísticos e comentar brevemente sobre a dureza criptográfica.

Para , defina a complexidade da imagem, denominada , como o número mínimo de portas em qualquer circuito booleano (fanin-two, AND / OR / NOT) , cuja imagem é . A pergunta pergunta sobre a complexidade da computação , dada uma representação da tabela verdade de (uma sequência de comprimento ). i m c ( S ) C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n S i m c ( S ) S 2 $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$$2^n$

Defina também a complexidade do circuito não determinístico de , que iremos designar , como o menor circuito não determinístico aceitar exatamente . Ou seja, exigimos de que se . Essa é uma noção padrão, usada para definir a classe não uniforme : é a classe de todos os conjuntos , com , de modo que .n c c ( S ) C ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m ′ → { 0 , 1 } S C x ∈ S ∃ y : C ( x , y ) = 1 N P / p o l y S = { S n } n > $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

O que eu queria ressaltar é que . Ambas as direções dessa desigualdade são simples de verificar. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Seja denotar a complexidade determinística do circuito. Usando Razborov-Rudich, o artigo que Dai Le menciona mostra (grosso modo aqui) que sob certas suposições criptográficas, é computacionalmente difícil distinguir tabelas verdadeiras de com pequenas, de tabelas verdadeiras de verdadeiramente aleatório ( com quase-máximo). aleatórios também têm quase-máximo, e é claro que temos . Portanto, seu problema é difícil sob as mesmas suposições.S d c c ( S ) S d c c ( S ) S n c c ( S ) n c c ( f ) ≤ d c c ( f $dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$$ncc(f) \leq dcc(f)$

O que é mais difícil de calcular, dada uma tabela de verdade para , ou ? Existe uma redução de qualquer maneira? Eu não sei.d c c ( S ) n c c ( S $S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Você deve dar uma olhada neste artigo de Kabanets e Cai. Vou citar o resumo do artigo:

Estudamos a complexidade do problema de minimização de circuitos: dada a tabela verdade de uma função booleana e um parâmetro , decidimos se pode ser realizado por um circuito booleano de tamanho no máximo . Argumentamos por que é improvável que esse problema esteja em (ou mesmo em ), fornecendo uma série de conseqüências surpreendentes de tal suposição. Também argumentamos que provar que esse problema é -completo (se é realmente verdade) implicaria provar limites fortes de circuito mais baixos para a classe , que aparece além das técnicas atualmente conhecidas.s f s P P / p o l $f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

Embora o circuito você mencionou calcule uma função , podemos pensar nele como uma sequência de circuitos , onde calcula o pouco de saída . Como cada calcula uma função booleana , minimizar os circuitos parece difícil de acordo com o resultado acima.$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$