Usando a sequência de Bruijn para encontrar o de um número inteiro

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Sean Anderson publicou pequenos truques de contenção contendo o algoritmo de Eric Cole para encontrar o de um número inteiro de bits nas operações com multiplicação e pesquisa. $\lceil\log_2 v \rceil$ $N$ $v$ $O(\lg(N))$

O algoritmo baseia-se em um número "mágico" da sequência De Bruijn. Alguém pode explicar propriedades matemáticas fundamentais da sequência usada aqui?

uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v
int r;      // result goes here

static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = 
{
  0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30,
  8, 12, 20, 28, 15, 17, 24, 7, 19, 27, 23, 6, 26, 5, 4, 31
};

v |= v >> 1; // first round down to one less than a power of 2 
v |= v >> 2;
v |= v >> 4;
v |= v >> 8;
v |= v >> 16;

r = MultiplyDeBruijnBitPosition[(uint32_t)(v * 0x07C4ACDDU) >> 27];

nt.number-theory comp-number-theory

— Yury Bayda
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A idéia vem deste artigo: supertech.csail.mit.edu/papers/debruijn.pdf . Uma sequência de Brujn de tamanho é uma maneira de representar todas as seqüências de bits de tamanho forma muito concisa: cada sequência possível aparece exatamente uma vez como uma subsequência contígua. Portanto, se você alterar a sequência de Bruijn em bits e ler os últimos bits, você terá um identificador exclusivo para .

2^{k}

$2^k$

k

$k$

n \leq 2^{k}

$n \leq 2^k$

k

$k$

n

$n$

— Sasho Nikolov 25/10

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A propósito, isso só calcula ; e, como está escrito, funciona apenas para números inteiros de 32 bits.

⌈ \log_{2} v ⌉

$\lceil \log_2 v \rceil$

— Sasho Nikolov

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@ Sasho Transformar em uma resposta?

— Yuval Filmus

@SashoNikolov Obrigado, adicionou uma função de teto à pergunta #

— Yury Bayda

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Primeiro, observe que esse algoritmo calcula apenas e, conforme o código é escrito, funciona apenas para que se encaixa em uma palavra de bits. $\lceil \log_2 v \rceil$ $v$ $32$

A sequência de turnos e -s que aparece primeiro tem a função de propagar o 1 bit principal de até o bit menos significativo. Numericamente, isso fornece . $v$ $2^{\lceil \log_2 v \rceil} - 1$

A parte interessante é o truque de Bruijn, que vem deste artigo de Leiserson, Prokop e Randall (aparentemente os professores do MIT passam algum tempo fazendo pequenos hacks :)). O que você precisa saber sobre as sequências de De Bruijn é que elas representam todas as sequências possíveis de um determinado comprimento de uma maneira o mais compactada possível. Precisamente, uma sequência de Brujn sobre o alfabeto é uma cadeia binária de comprimento modo que cada cadeia binária de comprimento apareça exatamente uma vez como uma substring contígua (é permitido o agrupamento). A razão pela qual isso é útil é que, se você tiver um número cuja representação de bits seja uma sequência de Bruijn (preenchida com $\{0, 1\}$ $s$ $2^k$ $k$ $X$ $k$ zeros), então os bits superiores de identificam exclusivamente (contanto que ). $k$ $2^iX$ $i$ $i <k$

— Sasho Nikolov
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Observe que você pode usar qualquer sequência de Bruijn dessa maneira para calcular dado . No entanto, você não pode usar uma sequência arbitrária de Bruijn para calcular dado . Aqui 0x07C4ACDD = 00000111110001001010110011011101 parece ser uma sequência de Bruijn com algumas propriedades adicionais, graças às quais o adicional não arruina essa abordagem.

i

$i$

2^{i}

$2^i$

i

$i$

2^{i} - 1

$2^i - 1$

- 1

$-1$

— Jukka Suomela 27/10/2013

Obrigado @JukkaSuomela, fiquei um pouco confuso com isso. Eu acho que você sempre pode adicionar 1 para .

v

$v$

— Sasho Nikolov

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Alguns comentários (não é realmente uma resposta). Vamos classificar números inteiros de 32 bits seguinte maneira: $c$

Tipo X: (como uma sequência binária) é a sequência De Bruijn (para todas as rotações, os bits [27,31] são distintos). Um exemplo: $c$
```
11111011100110101100010100100000
```
Tipo Y: os bits [27,31] de são distintos para . É isso que Leiserson et al. usos. Exemplos: $2^i \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000100011001010011101011011111
00001111101110011010110001010010
```
Tipo Z: os bits [27,31] de são distintos para . É disso que precisamos na pergunta original. Exemplos: $(2^{i+1} - 1) \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000111110001001010110011011101  (07C4ACDD)
10000111110001001010110011011101
01111000001110110101001100100011
11111000001110110101001100100011
```

Algumas observações baseadas em experimentos rápidos (espero ter acertado):

Existem 65536 inteiros do tipo X.
Existem 4096 números inteiros do tipo X + Y. Esses são precisamente aqueles números inteiros do tipo X que começam com a sequência '0000 ...'
- intuição: com zeros à esquerda, rotação = deslocamento?
Existem 256 números inteiros do tipo X + Y + Z. Esses são precisamente aqueles números inteiros do tipo X que começam com a sequência '0000011111 ...'
- intuição: ??
Todos os números inteiros do tipo Y também são do tipo X.
No entanto, também existem 768 números inteiros do tipo Z que não são do tipo X nem do tipo Y. Eles começam com '1000011111 ...', '0111100000 ...' ou '1111100000 ...'

— Jukka Suomela
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Esta é a única resposta que lida com o porquê da multiplicação de De Bruijn por 2 ^ n-1 funcionar, em oposição a 2 ^ n, que é apenas uma mudança. Eu adoraria se alguém pudesse expandir a "intuição" do nº 3 acima. Como Eric Cole surgiu com isso? Tentativa e erro? Ou alguma compreensão do que realmente acontece com os bits quando você multiplica por 2 ^ n-1?

— FarmerBob

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De onde vem essa constante?

Citação: "Em 10 de dezembro de 2009, Mark Dickinson cortou algumas operações exigindo que v seja arredondado para um a menos que a próxima potência de 2, em vez da potência de 2". [graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html]

Essa constante particular é uma sequência de De Bruijn com alfabeto binário, mas com uma propriedade extra. Vou chamá-lo de 'Propriedade de Marc Dickinson', já que o algoritmo original pode ser implementado sem essas sequências especiais de banco de dados. Ao adicionar duas operações extras, poderíamos usar qualquer sequência de banco de dados comum. Operação: v ^ = (v >> 1); // clr todos os bits, exceto o MSB definido após a cascata ou mudança.

Resultados (força bruta)

Seq.Type | No. Inteiros | Não. DBSeq. com | sem rotações | com Dickinson Propriedade
B (2, 3) | 256 16 2 1
B (2, 4) | 64Ki | 256 16 4
B (2, 5) | 04Gi 64Ki | 02Ki 256
B (2, 6) | 16Ei 04Gi 64mi | ??

A propriedade especial

A operação ( ( - )) , produz 32 resultados nos quais se descartarmos todos, exceto os 5 bits do MSB, e depois empilharmos nelas, a coluna de 5 bits forma um LFSR que indexa todas as 32 permutações de uma sequência de 5 bits de 0 a 31. Outras constantes De Bruijn B (2,5) podem indexar 31 das 32 permutações de uma sequência de 5 bits, mas a operação (v * 0x07C4ACDD ) >> 27 falharia. Observe também que apenas os 5 MSBits formam esse LFSR, por exemplo. a soma de 5 LSBits é 166 em vez de 496 .. O padrão abaixo da linha diagonal é um artefato de multiplicação por ( - ) ${0x7C4ACDD}$ $*$ $2^k$ ${1}$ $\pmod {2^{32}}$ $32\ge k\ge1$ $2^k$ ${1}$

Sequências binárias de Bruijn lexicograficamente menores com Dickinson Property

[B (2,3): 0x1D] [B (2,4): 0x0F2D] [B (2,5): 0x7C4ACDD] [B (2,6): Ainda pesquisando]

Se você estava esperando uma fórmula matemática elegante para descrevê-los ou um teorema para produzi-los ou algo semelhante, acho que isso exigiria uma compreensão profunda da teoria dos números e possivelmente de outros campos que estão além do meu conjunto de habilidades. Se eu quiser adivinhar, eu apostaria que eles poderiam ser produzidos por autômatos celulares. Esta não é uma resposta porque? em uma base rigorosa, mas uma tentativa de entender intuitivamente por que funciona e por que funciona corretamente, para que você possa usá-lo com confiança.

PS: Não cobri a construção LUT, que é facilmente deduzida se você entender os princípios de funcionamento dos algoritmos.

— FranG
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Finalmente encontrado: B (2,6) 0x3f08a4c6acb9dbd - uma sequência de 64 bits de bruijn com a 'propriedade dickinson'. Eu encontrei pelo menos 122K dessas seqüências.

— Frang