CSPs com largura de hiperárvore fracionária ilimitada

No SODA 2006, Martin Grohe e D niel papel de Marx "Constraint solução através de tampas de borda fraccionada" ( citação ACM ) mostrou que, para a classe de Hipergrafos H com largura hypertree fraccionada limitada, CSP ( H ) ∈ P T I M E .$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

Definições, etc.

Para uma grande pesquisa sobre decomposições de árvores e largura de árvore padrão, consulte aqui (Agradecemos antecipadamente, JeffE!).

Seja um hipergrafo.$H$

Então, para um hipergrafo $H$ e um mapeamento $\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$ ,

$B(\gamma) =$ {$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$ }.

Além disso, deixe o peso ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ .

Em seguida, uma decomposição fracionada de hiperárvore de $H$ é uma tripla $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ , onde:

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ é uma decomposição em árvore de$H$ , e
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ é uma família de mapeamentos de$E(H)$ de$[0, \infty)$ r para cada$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$ .

$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Finalmente, a largura hypertree fraccionada de , FHW ( ), é o mínimo das larguras mais de todos os possíveis decomposições hypertree fraccionais de .$H$$H$$H$

Questão

Como afirmado acima, se a largura fracionada da hiperárvore do gráfico subjacente de um CSP estiver limitada por uma constante, existe um algoritmo de tempo polinomial para resolver o CSP. No entanto, ficou como um problema em aberto no final do artigo vinculado se havia famílias solucionáveis ​​em tempo polinomial de instâncias de CSP com largura de hiperárvore ilimitada. (Devo também salientar que esta questão está completamente resolvida no caso de largura de árvore limitada vs. ilimitada ( citação ACM ) sob a suposição de que .) Como já faz algum tempo desde o primeiro artigo vinculado, Além disso, estou relativamente inconsciente do estado geral desse subcampo, minha pergunta é:$FPT \ne W[1]$

Existe algo conhecido sobre a (in) tratabilidade de CSPs sobre gráficos com largura fracionada ilimitada de hiperárvore?

Você vinculou dois documentos, ambos com conjecturas. Presumo que você esteja falando da conjectura de Grohe em 2007.

Esta pergunta foi respondida em 2008:

Teorema 5. CSP (C , _) está em NP, mas nem em P nem em NP completo (a menos que P = NP). Além disso, o conjunto C pode ser decidido em tempo polinomial determinístico.$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky e Martin Grohe, Não-dicotomias na complexidade da satisfação com restrições , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

A idéia é abrir buracos nos tamanhos de instância do CLIQUE, pela mesma técnica de diagonalização atrasada introduzida por Ladner para seu teorema. Observe que o conjunto C contém cliques arbitrariamente grandes e a largura fracionada da hiperárvore de uma -clique é . Portanto, é possível ter CSPs do formato CSP (A, _) que são de complexidade intermediária, em que A possui largura fracionada ilimitada de hiperárvore. Isso responde à conjectura de Grohe no negativo.$_0$$n$$n/2$

Na mesma conferência, Chen, Thurley e Weyer tiveram um artigo com um resultado semelhante, mas isso exigiu fortes embeddings, de modo que tecnicamente não era a forma correta para a conjectura.

• Yijia Chen, Marc Thurley e Mark Weyer, Entendendo a complexidade dos isomorfismos de subgráficos induzidos , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Finalmente, qualquer classe de instâncias de CSP pode ser transformada em uma representação com a largura de hiperárvore fracionária do pior caso. Em muitos casos, essa transformação é polinomialmente delimitada em tamanho e pode ser feita em tempo polinomial. Isso significa que é fácil gerar CSPs com largura de hiperárvore fracionária ilimitada, mesmo equivalência homomórfica no módulo. Esses CSPs não terão o formato CSP (A, _), pois as estruturas de destino são especiais, mas fornecem uma boa razão para que os CSPs definidos restringindo apenas as estruturas de origem não sejam tão interessantes: geralmente é apenas É muito fácil ocultar a estrutura em forma de árvore de uma instância do CSP alterando a representação para que a estrutura de origem tenha grande largura. (Isso é discutido no capítulo 7 da minha tese .)