Subgráfico contendo todos os nós e arestas que fazem parte de caminhos simples simples com comprimento limitado em um dígrafo

Nota: Postei uma pergunta semelhante sobre o gráfico não direcionado .

Dado

• Um dígrafo sem arestas múltiplas ou loops$G$
• Um nó de origem$s$
• Um nó de destino$t$
• Comprimento máximo do caminho$l$

Estou procurando por - um subgrafo de que contém qualquer nó e qualquer aresta em (e somente aqueles) que fazem parte de pelo menos um caminho simples de para com comprimento .$G'$$G$$G$$s$$t$$\leq l$

Observe que não preciso enumerar os caminhos.

Como a pergunta é declarada, tendo como parte da entrada, o problema é -hard. Isso segue como um caso especial da classificação da classe de padrões para a qual o problema de homeomorfismo do subgrafo direcionado é concluído por artigo de Fortune, Hopcroft e Wyllie: O problema do homeomorfismo do subgrafo direcionado .$l$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Em particular, o seguinte problema é completo: Dado um gráfico direcionado e os vértices , existe um caminho (simples) através de ?$\mathsf{NP}$$G$$s,t,v$$(s,t)$$v$

Atualização: esta resposta parece estar com defeito. Veja o comentário de Kristoffer Arnsfelt Hansen.

Não sei como resolver o seu problema, mas aqui está uma técnica para resolver uma versão mais simples do seu problema: a saber, dada a aresta , teste se existe algum caminho simples de a que inclua a aresta . (Isso corresponde ao caso especial do seu problema em que .)$e$$s$$t$$e$$l=\infty$

Você pode resolver esse problema mais simples usando "fluxo máximo com limites inferiores" como sub-rotina. No problema de fluxo máximo padrão, a capacidade de cada aresta nos fornece um limite superior na quantidade de fluxo que passa por essa aresta, e exigimos que a quantidade de fluxo na aresta seja limitada em 0. Em "fluxo máximo com limites inferiores ", podemos especificar um limite inferior e um limite superior na quantidade de fluxo através dessa borda. Sabe-se que o "fluxo máximo com limites inferiores" pode ser resolvido em tempo polinomial.

Agora, suponha que tenhamos uma aresta e queremos testar se existe um caminho simples de a que inclua a aresta . Vamos configurar um problema de fluxo máximo com limites mais baixos. Particularmente, pegue o gráfico e adicione um novo nó com a borda um novo nó com a borda . Defina a capacidade (limite superior) em cada aresta 1. O limite inferior em todas as arestas será 0, exceto que o limite inferior na aresta é 1. Agora verifique se existe um fluxo viável de a$e \in E$$s$$t$$e$$G$$s_0$$s_0 \to s$$t_1$$t \to t_1$$e$$s$$t$que satisfaça todos os limites (esse teste pode ser realizado em tempo polinomial, conforme mencionado acima). Se não houver fluxo, não haverá um caminho simples de para . Se houver esse fluxo, rastrear esse fluxo gera um caminho simples de$s$$t$$s$$t$$e$

$e$

Aprendi essa idéia no seguinte artigo:

• Localizando um caminho simples com vários nós de inclusão obrigatória . Hars Vardhan, Shreejith Billenahalli, Wanjun Huang, Miguel Razo, Arularasi Sivasankaran, Limin Tang, Paolo Monti, Marco Tacca e Andrea Fumagalli. Universidade do Texas em Dallas, Relatório Técnico UTD / EE / 2/2009. Junho de 2009.

(Certifique-se de ler a versão do relatório técnico, não a versão publicada. Essa ideia é encontrada no segundo parágrafo da introdução.)

$l$

Como alternativa, poderíamos resolver seu problema de maneira direta usando a programação linear inteira (ILP). Na prática, os solucionadores de ILP são muito bons em muitos problemas. No entanto, o pior tempo de execução ainda é exponencial, portanto, isso não dará um algoritmo com o pior tempo de execução polinomial. Deixe-me saber se você deseja que eu elabore como formular isso usando o ILP.

$G$$O(V + E)$

$s$$G$$d_s(v)$$v$$G$$s$$v$$t$$G$$(v,u)$$(u,v)$$G$$d_t(v)$$v$$G$

$v$$s$$t$$v$$d_s(v) + d_t(v)$

$G'$$v$$G$$d_s(v) + d_t(v) \leq l$$(u,v)$$d_s(u) + d_t(v) \leq l-1$

$l$$O(2^l\cdot m(n+m))$$l$

$m$$l$$e$

Foreach $e=(u,v)\in E$: 
a. do for $O(2^l)$ times:
  1. Compute a random partition of the vertices set $V=(S,V\setminus S)$ 
   such that $s,u\in S$, $v,t\not \in S$ (and every other vertex is in $S$ w.p. 1/2).
  2.Find the shortest path from $s$ to $u$ in the subgraph induced by $S$.
    And the shortest path from $v$ to $t$ in the subgraph of $V\setminus S$. 
  3.If the sum of distances is no more than $l-1$, add $e$ to the output graph.

$\leq l$$G$$e$

$u$$S$$V\setminus S$$2^{-l}$$O(2^l)$

Derandomização

$2^{polylog(l)}$

$(n,l)$$S$$O(2^{l+ log^3(l)}\cdot poly(n))$