Subgráfico contendo todos os nós e arestas que fazem parte de caminhos simples simples com comprimento limitado em um gráfico não direcionado

Muito semelhante à minha pergunta postada anteriormente . Desta vez, no entanto, o gráfico não é direcionado.

Dado

Um gráfico não direcionado sem arestas múltiplas ou loops, $G$
Um vértice de origem , $s$
Um vértice alvo , $t$
Comprimento máximo do caminho , $l$

Estou procurando por - Um subgrafo de que contém qualquer vértice e qualquer aresta em (e somente aqueles) que fazem parte de pelo menos um caminho simples de a com comprimento . $G'$ $G$ $G$ $s$ $t$ $\leq l$

Notas:

Não preciso enumerar os caminhos.
Estou procurando um algoritmo eficiente (tempo e memória), pois preciso executá-lo em gráficos muito grandes (10 ^ 8 vértices, 10 ^ 9 bordas).

ds.algorithms graph-algorithms shortest-path

— Lior Kogan
fonte

Veja isso. Foi encontrado este artigo, que parece fazer uma redução de fluxo de custo mínimo semelhante, mas usa as características especiais da rede para resolvê-la mais rapidamente do que os algoritmos gerais de MCF.

— RB

Respostas:

Bem, o problema está em afinal. Vou manter a resposta anterior , uma vez que também funciona para o caso dirigido (que é NPC, como respondida na outra questão), e mostra que é com relação a . $P$ $FPT$ $l$

No caso não direcionado, é solucionável, deterministicamente, por meio do fluxo de custo mínimo (isso pode não funcionar nas escalas a que você está se referindo na pergunta, mas é melhor que o algoritmo exponencial.

O procedimento a seguir decidirá se alguma aresta deve fazer parte do gráfico de saída. Para responder ao problema original, faça um loop em todas as bordas. $e=(u,v)\in E$

Para criar a rede de fluxo, faça o seguinte:

Passo 1: Expand ter um vértice e substituir com as arestas (que são dirigidos como um parte da rede de fluxo), defina seu custo como 0. $e$ $x_e$ $e$ $(u,x_e),$ $(x_e,u),(v,x_e),(x_e,v)$

Etapa 2: substitua todos os vértices , exceto por dois vértices e , e adicione uma aresta . Defina o custo dessas arestas como 1. $t$ $x_e$ $t^-$ $t^+$ $(t^-,t^+)$

Etapa 3: Substitua todas as arestas pelas arestas . Defina o custo dessas arestas para 0. $\{a,b\}\in E$ $(a^+,b^-),(b^+,a^-)$

Passo 4: Adicionar um novo vértice e adicionar as bordas com custo 0. $y_e$ $(s,y_e),(t,y_e)$

Etapa 5: defina todas as capacidades para 1.

Agora execute o algoritmo de fluxo de custo mínimo, procurando um fluxo de valor 2 de para . $x_e$ $y_e$

Análise:

Cada fluxo de 2-valorizado de de é uma união de um caminho e um caminho . $x_e$ $y_e$ $x_e\leadsto s\to y_e$ $x_e\leadsto t\to y_e$
Os caminhos são disjuntos, pois para cada vértice há apenas 1 capacidade no arco . $t$ $(t^-,t^+)$
Os caminhos retornados são os dois caminhos cuja soma das distâncias é mínima e esse também é o custo do fluxo encontrado. Isso nos permite adicionar ao gráfico de saída ou excluir caso contrário. $e$

— RB
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s

$s$

t

$t$

v

$v$

P

$P$

v

$v$

s

$s$

Q

$Q$

v

$v$

t

$t$

P

$P$

Q

$Q$

v

$v$

s

$s$

t

$t$

e

$e$

e

$e$

@ChandraChekuri - isso está correto, mas lembre-se de que, se o problema não tiver a restrição de comprimento, há um algoritmo muito mais simples para decidir isso - veja aqui

— RB

Claro, também estou ciente dessa solução - conceitualmente é bom entender os componentes biconetados por caminhos separados, mesmo que se possa encontrar vértices de corte e componentes biconectados diretamente via DFS.

— Chandra Chekuri

@RB: Obrigado. O algorihm sugerido pode ser eficaz quando l for relativamente grande, mas provavelmente é subótimo para valores relativamente pequenos de l. Acho que posso aparar G primeiro removendo qualquer vértice além do piso (l / 2) de se teto (l / 2) de t.

— Lior Kogan 31/03

y

$y$

y

$y$

y_{e}

$y_e$

x_{e}

$x_e$

y

$y$

$s$ $t$ $s$ $t$ $\le \ell$

$O(|V|+|E|)$ $\ell$

$s$ $\ell$ $V_s$ $s$ $\ell$ $dist(s,v)$ $v \in V_s$ $t$ $V_t$ $t$ $V_{solution}=\{ v : v \in V_s \cap V_t, dist(s,v)+dist(t,v) \le \ell \}$ $E[V_{solution}]$ $=(v,u) \in E : u,v \in V_{solution}$

$O(|V|+|E|)$ $O(|V_s| + |V_t| + |E[V_s]|+|E[V_t]|)$ $\ell$ $s$ $t$ são pequenos.

$s$ $t$ $\ell/2$ $\ell$ $\ell$

— bolinho de massa mobius
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t - u - s - v - x

$t-u-s-v-x$

l = 4

$l=4$

v

$v$

v

$v$

Obrigado pela correção @RB. Eu editei minha resposta para observar que está errado.

— mobius bolinho

Isso pretende ser um comentário, mas é muito longo para ser postado como um comentário.

$G = (V, E)$ $H = (V, E')$ $H = (V, E', w)$

$O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$

Se isso parecer útil, posso tentar desenterrar as construções relevantes para você.

— GMB
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