Classes de gráfico em que os problemas do Ciclo Hamiltoniano e do Caminho Hamiltoniano têm complexidade diferente

Ao pesquisar o Sistema de informações sobre classes de gráfico e suas inclusões , encontrei várias classes de gráfico para as quais o problema do ciclo hamiltoniano é NP-completo, enquanto a complexidade dos problemas do caminho hamiltoniano NÃO é conhecida. Algumas dessas classes são gráficos bipartidos de grau máximo 3, gráficos de grade grau máximo 3 e gráficos planares cúbicos com 2 conexões. Este fenômeno também se aplica a gráficos circulares e gráficos de grade triangular.

Existe uma atualização para a complexidade do problema do caminho hamiltoniano nessas classes? Existe uma explicação para esse fenômeno?

EDIT : Encontrei no banco de dados de classes de gráficos um caso estranho de gráficos de grade sólida, onde o problema do ciclo hamiltoniano está em enquanto o problema do caminho hamiltoniano é de complexidade desconhecida . $P$

cc.complexity-theory graph-theory

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Gostaria de saber se existe uma classe gráfica interessante para a qual a HP está em mas HC é completo.

P

$P$

N P

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany

Em geral, existe alguma classe de gráfico para a qual um dos problemas (HC e HP) é completo e o outro está em ou em ? Estou procurando resultados publicados para problemas de HC e HP.

N P

$NP$

P

$P$

N P I

$NPI$

— Mohammad Al-Turkistany

Pelo que vale a pena (não muito), o Caminho Hamiltoniano e o Ciclo Hamiltoniano têm complexidade diferente nas árvores: o ciclo é trivial, mas o caminho requer uma varredura linear para verificar se existe um vértice de grau superior a dois.

— David Richerby

É improvável que a HP esteja em e HC seja completo para qualquer classe de gráfico, pois há uma redução de Cook de HC para HP que faz no máximo chamadas para o oráculo da HP. A verdadeira questão é se existe uma redução de Karp ( ).

P

$P$

N P

$NP$

O (| E |)

$O(|E|)$

H C <_{P}^{m} H P

$HC<_P^m HP$

— Mohammad Al-Turkistany

Respostas:

O problema do caminho hamiltoniano em gráficos de grade com grau máximo 3 é NP-completo. A prova está em CH Papadimitriou e UV Vazirani, Sobre dois problemas geométricos relacionados ao problema do vendedor ambulante, Journal of Algorithms, Volume 5, Volume 5, Edição 2, Junho de 1984, Páginas 231–246 (Teorema 2)

— Marzio De Biasi
fonte

Obrigado Marzio, eles estão usando a mesma definição usada no banco de dados para gráficos de grade? (uma vez que são diferentes definições na literatura)

— Mohammad Al-Turkistany

Um gráfico de grade é uma finito, subgráfico induzida pelo nó de

, o gráfico infinito cujo conjunto vértice consiste em todos os pontos do plano de coordenadas de número inteiro e em que dois vértices estão ligados, se e somente se a distância euclidiana entre eles é um; assim um gráfico grade pode ter "buracos" e o teorema é provado por (restritas a) gráficos de grelha na qual os vértices tenham o máximo de grau 3.

G^{\infty}

$G^\infty$

— Marzio de Biasi

Obrigado Marzio, então, para esta classe, HC e HP têm a mesma complexidade.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: outra observação: os gráficos de grade (e gráficos com grau máximo 3) também são bipartidos; portanto, a HP deve estar completa com NP para gráficos bipartidos com grau máximo 3 também.

— Marzio De Biasi

Houve uma atualização no sistema de informações sobre classes de gráfico e suas inclusões. Agora, o problema do ciclo hamiltoniano e do caminho hamiltoniano são declarados NP-completos em gráficos planares cúbicos de 2 conexões.

No entanto, as complexidades computacionais dos problemas de HC e HP são listadas desconhecidas para um problema e NP-completas para o outro em gráficos circulares , gráficos de grade triangular e gráficos de grade sólidos .

— Mohammad Al-Turkistany
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Você diz "... as complexidades dos problemas de HC e HP ainda são diferentes ..."; talvez seja melhor dizer que "para essas classes de gráficos HC é NPC, mas a HP ainda tem complexidade desconhecida"

— Marzio De Biasi /

@MarzioDeBiasi Obrigado pelo seu valioso comentário. Eu editei para refletir sua sugestão.

— Mohammad Al-Turkistany

Perco alguma coisa? HC é tempo polinomial solucionável em gráficos de grade sólida. ieeexplore.ieee.org/document/646138

— Saeed