Facturando polinômios de baixo grau

Qual é o algoritmo mais rápido conhecido por fatorar polinômios com $n$ variáveis ​​e grau total $\leq d$ ? Aqui, $n$ está crescendo $d$ é fixo. A maioria dos trabalhos parece considerar o caso quando $d$ está crescendo e $n$ é fixo. Estou interessado em resultados tanto em campos finitos quanto em racionais.

Deixe- ser um campo de característica 0 ou pelo menos d ( d - 1 ) + 1 , e p ∈ K [ x 1 , ... , x n ] ser um polinómio de grau total, no máximo, d . Se d é fixo en está crescendo, temos os seguintes limites de complexidade para a redução da fatoração de p à fatoração de um polinômio univariado com grau d : (A notação ˜ O ( ⋅ $\mathbb K$$0$$d(d-1)+1$$p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$$d$$d$$n$$p$$d$$\tilde{\mathcal O}(\cdot)$ ignora fatores logarítmicos.)

1. Algoritmos determinísticos:

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$operações de campo , usando algoritmos de multiplicação ingênuos;
   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$operações de campo , se houver algoritmos de multiplicação rápida, onde é um expoente admissível para álgebra linear.¹$2<\omega\le 3$

2. Algoritmos probabilísticos:

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$operações de campo , se houver algoritmos de multiplicação rápida disponíveis.

Então, é preciso fatorar um polinômio univariado de grau . A complexidade dessa etapa não depende mais de ; portanto, os limites acima permanecem válidos para os algoritmos completos de fatoração. A única diferença está na característica positiva: como nenhum algoritmo determinístico de tempo polinomial é conhecido por fatorar um polinômio univariado, mesmo a redução determinística produz um algoritmo probabilístico. No entanto, se é realmente fixo e pequeno, pode-se substituir o algoritmo probabilístico de tempo polinomial por um algoritmo determinístico de tempo exponencial.$d$$n$$d$

Observe que o limite probabilístico é ideal até fatores logarítmicos, uma vez que é o tamanho da entrada.$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

Mais detalhes podem ser encontrados no artigo Algoritmos de fatoração polinomial multivariada densa e aprimorada de Grégoire Lecerf ( link sem paywall ).

Outra referência, especialmente para campos de pequena característica, é EL Kaltofen & G. Lecerf, Fatoração de polinômios multivariados ( link sem paywall ), capítulo 11.5 de GL Mullen e D. Panario, editores, Manual de campos finitos .

Result O resultado precisa assumir que .$\omega>2$