O Quase-2-SAT NP é difícil?

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Um problema CNF SAT NP é difícil quando o número total (mas não a largura) das cláusulas de 3 ou mais termos é delimitado acima por uma constante? Que tal especificamente quando existe apenas uma dessas cláusulas?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
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Se houver apenas uma tal cláusula com mais do que 2 termos, resolver tais fórmulas é trivialmente em . Se tiver termos, tente cada uma das designações parciais que satisfazem e resolva a fórmula 2-SAT restante usando o método de tempo linear conhecido. Eventualmente, você encontrará uma solução para toda a fórmula ou provará que ela é insatisfatória em , em que não pode exceder o número de variáveis na fórmula inteira.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones

@KyleJones Mas uma única cláusula com literais tem tarefas satisfatórias, não apenas . Como não está delimitado na pergunta, essa abordagem fornece um algoritmo de tempo exponencial.

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby

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@DavidRicherby Para satisfazer a cláusula, você só precisa fazer um dos literais avaliar true. Depois disso, a cláusula poderá ser ignorada e você só terá uma fórmula 2-SAT. literais significa que você só precisa tentar atribuições.

k

$k$

k

$k$

— Kyle Jones

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Vale ressaltar que o problema se torna difícil para NP quando a restrição é relaxada um pouco.

Com um número fixo de cláusulas que também são de tamanho limitado, o número médio de literais em uma cláusula é tão próximo de 2 quanto se deseja, considerando uma instância com variáveis suficientes. Como você aponta, existe um limite superior simples que é polinomial se o tamanho da cláusula for delimitado.

Por outro lado, se o número médio de literais por cláusula for pelo menos para alguns fixos (mas arbitrariamente pequenos) , o problema é difícil para o NP. $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

Isso pode ser mostrado reduzindo o 3SAT a esse problema, introduzindo novas cláusulas com 2 literais que são trivialmente satisfatórios. Suponha que haja cláusulas na instância 3SAT; para reduzir o tamanho médio da cláusula para , basta adicionar novas cláusulas com duas literais. Como é fixo e positivo, a nova instância é de tamanho polinomial. $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

Essa redução também mostra que mesmo a versão em que as cláusulas "grandes" estão restritas a 3 literais é difícil para o NP.

O caso restante é quando as poucas cláusulas grandes não são de tamanho limitado; cada cláusula grande parece dificultar o problema. Veja o artigo da SODA 2010 de Pǎtraşcu e Williams para o caso de duas cláusulas: eles argumentam que se isso puder ser feito em tempo sub-quadrático, teríamos melhores algoritmos para o SAT. Pode haver uma extensão de seu argumento para mais cláusulas, o que forneceria evidências de que seu limite superior não pode ser melhorado (módulo alguma forma da hipótese do tempo exponencial).

— András Salamon
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apenas tangencialmente relacionados, mas há um papel ECCC recente que formula "quase 2-SAT" de uma maneira diferente e prova dureza forte: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho Nikolov

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OK, entendi. A resposta é não. Isso pode ser resolvido em poli-tempo. Para cada cláusula de 3 ou mais termos, selecione um literal e defina-o como verdadeiro. Em seguida, solucione o problema restante de 2 sat. Se alguém fornecer uma solução, essa é uma solução para o problema geral. Como o número de cláusulas de 3 ou mais termos é fixo (digamos c), se todas essas cláusulas tiverem tamanho <= m, isso será executado em O (m ^ (c) * n). O (m ^ c) para percorrer cada seleção possível, vezes O (n) para resolver o problema restante de 2 sat.

— dspyz
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m

$m$

É porque m é implicitamente limitado pelo número de átomos. Obviamente, uma cláusula não pode ter mais literais do que átomos no problema. Talvez eu devesse ter esclarecido m <= n

— dspyz