Co-NP-completude de um tour TSP mínimo?

Esse problema surgiu no meu post recente do blog , suponha que você faça um tour pelo TSP. Ele é co-NP-complete para determinar se é mínimo?

Mais precisamente, é o seguinte problema NP-complete:

Instância: dado um gráfico completo G com arestas ponderadas com números inteiros positivos e um ciclo simples C que visita todos os nós de G.

Pergunta: Existe um ciclo simples D que visita todos os nós de G, de modo que o peso total de todas as arestas de D em G seja estritamente menor que o peso total de todas as arestas de C em G?

Um esboço de uma possível redução para provar que é NP-completo.

Informalmente, começa com uma fórmula 3SAT modificada usada para mostrar que o 3SAT é completo em ASP (Outro Problema de Solução) e "segue" a cadeia padrão de reduções 3SAT => HAMCYCLE DIRECTED => HAMCYCLE SEM INDICAÇÃO => TSP

• Comece com uma fórmula 3SAT com variáveis e calcule ;n x 1 , . . . x n m C 1 , . . . , C $\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Transforme-o em uma nova fórmula adicionando uma nova variável ...;$\varphi'$$t$
• ... e expandindo cada cláusula para ;( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• A partir de construa o gráfico da estrutura dos diamantes usado para provar que o CICLO HAMILTONIANO DIRECTO é NP-Completo; suponha que cada cláusula corresponda ao nó em ; G = { V , E } C j N j$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Modifique no gráfico substituindo cada nó por três nós vinculados e modifique as arestas de acordo com a redução padrão usada para provar a completude NP do CICLO HAMILTONIANO NÃO INDICADO de CICLO HAMILTONIAN DIRETO, ou seja, é o nó usado para as arestas de entrada, é o nó usado para as arestas de saída;G ′ = { V ′ , E ′ } u u 1 , u 2 , u 3 u 1 u $G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Converta a instância UNCRECTED HAMILTONIAN CYCLE em em uma instância TSP na qual todas as arestas de têm peso , exceto a aresta (exclusiva) no diamante que vai para a atribuição "positiva" de que tem peso (borda vermelha na figura abaixo); finalmente, as arestas adicionadas para completar têm peso . T G ′ w = 1 t w = 2 G ′ w = $G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Claramente, a instância do TSP possui um ciclo simples que visita todos os nós, o que corresponde à atribuição satisfatória de na qual (e esse passeio pode ser facilmente construído em tempo polinomial), mas tem peso total (porque usa a aresta que corresponde à atribuição que tem peso 2). possui outro ciclo simples que visita todos os nós com um peso total menorse e somente se a borda do peso que corresponde à atribuição não for usada; ou equivalentemente se e somente se houver outra atribuição satisfatória deφ ′ t = t r u e | V ' | + 1 t = t r u e T | V ' | 2 t = t r u e φ ' t = f um l s e $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$$2$$t = true$$\varphi'$em que ; mas isso pode ser verdade se, e somente se, a fórmula original for satisfatória.$t = false$$\varphi$

Pensarei mais sobre isso e escreverei uma prova formal (se não estiver errada :-). Entre em contato se precisar de mais detalhes sobre uma ou mais das passagens acima.

Como observado por domotorp, uma conseqüência interessante é que o seguinte problema é NP-completo: Dado um gráfico e um caminho hamiltoniano, possui um ciclo hamiltoniano?$G$$G$

Papadimitriou e Steiglitz (1977) demonstraram a completude da PN deste problema.