O número de estados de autômatos locais

Um autômato determinístico é chamado -local para se para cada o conjunto contém no máximo um elemento. Intuitivamente, isso significa que se uma palavra de comprimento leva a um estado, então esse estado é único ou dito diferentemente de uma palavra arbitrária de comprimento os últimos símbolos determinam o estado ao qual ele leva.k k > 0 w ∈ X k { δ ( q , w ) : q ∈ Q } w k > k $\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$$> k$$k$

Agora, se um autômato é , ele não precisa ser -local para alguns , mas deve ser -local para causar os últimos símbolos de alguma palavra determina o estado, se houver, exclusivamente.k ′ k ′ < k k ′ k ′ > k | w | > $k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Agora, tento conectar o número de estados e a localização- de um autômato. Eu conjecturo:$k$

Lema: Seja seja -local, se | Q | < k , o autômato também é | Q | -local.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Mas não consegui provar, alguma sugestão ou idéia?

Espero por este lema a algo derive sobre o número de estados de um autômato que não é -local para todo k ≤ N dado um fixo N > 0 , mas k -local por algum k > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Como você diz que deve ter no máximo um elemento, presumo que você use a versão do DFA em que δ pode ser parcial. Então este é um contra-exemplo: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ para q < 4 , e δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F e q 0 obviamente não importam para esta pergunta.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

O autômato é -local, mas não 5 -local, pois T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Edit: este contra-exemplo não funciona, vou mantê-lo para que os comentários façam sentido. O seguinte, no entanto.

Tome , com transições 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) . Esse autômato é $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local, mas não -local: para a a b a , obtemos os caminhos 0 → 1 → 2 → 0 → 1 e 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , ou seja, T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Uma resposta tardia, mas o limite do atraso de sincronização foi estudado para várias classes de autômatos: veja, por exemplo, Autômatos inequívocos; Béal et al. MCS'08 .

Em particular; existe uma família de autômatos determinísticos que possuem atraso como mostrado em No limite do atraso de sincronização de um autômato local; Béal et al. TCS'98 , que corresponde a um limite superior O ( | Q | 2 ) correspondente .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS, o atraso de sincronização definido no artigo é o mínimo para o qual o autômato local determinístico é k- local .$k$$k$