O limite de idiomas rígidos pode ser fácil?

Todos os seguintes podem ser mantidos simultaneamente?

1. L s + 1$L_s$ está contido em para todos os números inteiros positivos .$L_{s+1}$$s$
2. { 0 , 1 $L = \bigcup_s L_s$ é o idioma de todas as palavras finitas acima de .$\{0,1\}$
3. Há alguma complexidade classe e uma noção de redução apropriado para de tal modo que para cada um , é difícil para .C s L s$C$$C$$s$$L_s$$C$

Eu acho que podemos começar com alguma linguagem base , então pegar e .L 0 = L L s + 1 = L s ∪ { 0 , 1 } s + $L$$L_0 = L$$L_{s+1} = L_s \cup \{0,1\}^{s+1}$

Ou seja, cada é a união de com todas as cadeias de comprimento até . Cada é pelo menos tão duro quanto mas não é mais difícil (no sentido assintótico), assumindo que podemos contar com . L s L s L $L_s$$L$$s$$L_s$$L$$s$

Também pensei no "limite" oposto, para que cada esteja contido em , e é fácil enquanto cada é difícil. Mas acho que poderíamos começar com uma linguagem difícil (mas contável) e apenas remover uma palavra a cada etapa; a interseção deve estar vazia (todas as palavras são removidas). L s L = ∩ s L s L s L $L_{s+1}$$L_s$$L = \cap_s L_s$$L_s$$L_0$

Apenas para adicionar às respostas de Marzio e usul: o mesmo pode ser feito, mesmo que se queira exigir que a diferença entre e L s + 1 seja um conjunto infinito (que é uma maneira de tentar tornar a pergunta menos trivialmente respondida, mas, como vemos, não funciona). Seja D n = { x ∈ { 0 , 1 } ∗ : 1 x  é a expansão binária de um número inteiro divisível por  n } . Então, tomar e deve fazer o truque.$L_s$$L_{s+1}$$D_n = \{ x \in \{0,1\}^* : 1x \text{ is the binary expansion of an integer divisible by } n\}$L s + 1 = L s ∪ D $L_0 = L$$L_{s+1} = L_s \cup D_s$

(Para qualquer fixo , se L for, por exemplo, CLIQUE, deve ser relativamente fácil reduzir o SAT para o CLIQUE e modificá-lo por algo como preenchimento, para que ainda seja uma redução do SAT para o CLIQUE ∪ D s .)$s$$L$$\cup D_s$

Dada uma enumeração binários de fórmulas booleanas codificados definir G s = S A T ∪ { φ i 1 , . . . , Φ i s } onde φ i 1 , . . . , Φ i s são os primeiros s fórmulas insatisfatível na enumeração.$\varphi_1, \varphi_2,...$$L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$$\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$$s$

é claramente difícil para N P : dada uma fórmula booleana φ adicionar-lhe novas variáveis OU-ed suficientes x i φ ∨ x 1 ∨ . . . ∨ x N até que o seu índice na enumeração torna-se maior do que (constante) i s .$L_s$$NP$$\varphi$$x_i$ $\varphi \lor x_1 \lor ... \lor x_n$$i_s$