Provar que o conjunto de potências de 2 sobre o alfabeto ternário não é regular.

É simples ver que os poderes de 2 sobre o alfabeto {0,1} são regulares porque é uma expressão regular para ele.$10^*$

Mas os poderes de 2 representados no ternário parecem não ser regulares. É difícil aplicar classes de lema ou resíduo de bombeamento, pois parece haver muito pouco padrão entre as strings. Como eu resolvo isso?

Em geral, para quais potências de representadas na base , o conjunto é regular?$k$$r$

Aqui está uma solução alternativa (com explicação detalhada) usando o Teorema de Myhill-Nerode. Usarei as bases e para facilitar a leitura, mas a prova generaliza para bases arbitrárias que não são potências do mesmo número inteiro.2 r , $3$$2$$r,k$

(1) Mostre que, dada qualquer string ternária , existe outra string tal que é uma potência de .y x y $x$$y$$xy$$2$

Prova: Dado qualquer (deixando que seja o número que representa), e , existe tais que representa . De fato, isso caracteriza todos os números que pode representar. Portanto, encontrar o mínimo modo que seja uma potência de depende de encontrar o menor número inteiro modo que tenhamos alguma potência de no intervalo . Tomando a base de log , precisamos encontrarn ∀ k c ∈ { 0 , … , 3 k - 1 } y x y 3 k n + c x y y x y 2 k 2 [ 3 k n , 3 k ( n + 1 ) - 1 ] 2 k [ k log 3 + log x , k log 3 $x$$n$$\forall k$$c\in \{0,\ldots,3^k-1 \}$$y$$xy$$3^kn + c$$xy$$y$$xy$$2$$k$$2$$[3^kn,3^k(n+1)-1]$$2$$k$de modo que tenhamos um número inteiro no intervalo (soltar o aqui é duvidoso, mas simplifica os cálculos que não dependem dele) . Observe que alterar afeta apenas a parte , para que possamos encontrar um que nos aproxime arbitrariamente de algum número inteiro.- 1 k k log 3 $[k\log 3 + \log x, k\log3 + \log(x+1)]$$-1$$k$$k\log 3$$k$

(2) Dado algum e o mínimo correspondente , mostre que existe uma string x 'de modo que o mínimo correspondente tenha que ser maior que . Repetir isso nos dá infinitamente muitas classes de equivalência de strings.y y ′$x$$y$$y'$$y$

Resumo da prova: Como , dados um e seus e correspondentes , sempre podemos encontrar alguns que é suficientemente pequeno, de modo que nenhum número inteiro esteja contido em . Observe que estamos implicitamente usando o fato de que nunca pode ser um número inteiro.$\log 2^m x = m + \log x$$x$$y$$k$$x' = 2^m x$$\log(2^m x + 1) - \log (2^m x)$$[k\log 3 + m +\log x, k\log3 + \log(2^mx+1)]$$k\log 3 + \log x$

Em geral, para quais potências de representadas na base r , o conjunto é regular?$k$$r$

Sua pergunta é uma sub-caixa do Teorema de Cobham (Alan Cobham, Sobre a dependência básica de conjuntos de números reconhecíveis por autômatos finitos, Theory of Computing Systems 3 (2): 186-192, 1969, doi: 10.1007 / BF01746527 ):

Seja um conjunto de números inteiros não negativos e m e n sejam inteiros positivos multiplicativamente independentes. Então S é reconhecível por autômatos finitos na notação m- ar e n- ar se, e somente se, em última análise, for periódica$S$$m$$n$$S$$m$$n$

Aqui, por multiplicativamente independente, um significa que não existe e q diferentes de zero, de modo que m p = n q . Cobham cita Büchi para o seu caso específico de potências de algum k na base r , que é reconhecível apenas se k e r forem multiplicativamente dependentes .$p$$q$$m^p=n^q$$k$$r$$k$$r$

Se você estiver interessado neste resultado, há uma pesquisa bastante interessante feita por Véronique Bruyère, Georges Hansel, Christian Michaux e Roger Villemaire ( conjuntos de números lógicos e reconhecíveis, Boletim da Sociedade Belga de Matemática 1 (2), 1994, PDF ), que também mostra o relacionamento com a aritmética Presburger.$p$

O lema de bombeamento implica que existe uma sequência como para alguns b , c , d , de modo que cada x n seja uma potência de k . Logo, log k ( x n ) = d n log k ( r ) + c o n s t $x_n = c+b(r^{dn}-1)/(r^d-1)$$b,c,d$$x_n$$k$ é sempre um número inteiro, então log k ( r ) é racional.$\log_k(x_n)=dn \log_k(r) + const + o(1)$$\log_k(r)$

Aqui está uma explicação dessa fórmula para . O lema de bombeamento fornece as cadeias u , v , w , de modo que cada cadeia x n = u v n w é uma potência de k . Interpretando essas seqüências de caracteres como números e escrevendo d e e para os comprimentos de v e w , respectivamente, x n = u r d n + e + v r d ( n - 1 $x_n$$u,v,w$$x_n=u v^n w$$k$$d$$e$$v$$w$é uma potência ded. Então x n - x n - 1 =(u r d -u+v) r d ( n - 1 ) + e . Escrevendob=(u r d -$x_n = u r^{dn+e} + v r^{d(n-1)+e} + v r^{d(n-2)+e} + \dotsb + v r^e + w$$d$$x_n-x_{n-1} = (u r^d - u + v) r^{d(n-1)+e}$ e c = x 0 - b temos x n = c + b ( r d n - 1 ) / ( r d - 1 ) .$b=(u r^d - u + v)r^e$$c=x_0-b$$x_n=c+b(r^{dn}-1)/(r^d-1)$

Seja $L$ o conjunto de potências de 2 codificadas na base 3. A codificação de $4^n$ na base 3 termina com 1, enquanto a codificação de $2\cdot 4^n$ na base 3 termina com 2. Portanto, $L' = L \cap \Sigma^*1$ é a codificação de todas as potências de 4.

A codificação de um número inteiro $m > 0$ na base 3 leva $\lceil \log_3 (m+1) \rceil$ dígitos. Como nem $4^n$ nem $4^n+1$ são potências de 3 para $n>0$ (uma vez que nenhuma é divisível por 3), a codificação de $4^n$ leva $\lfloor \log_3 4^n \rfloor + 1$ dígitos.

Seja $N = \{ \lfloor \log_3 4^n \rfloor : n \geq 0 \}$ (esta é uma sequência de Beatty ). Suponha que $L$ seja regular. Então seria $L'$ . Isso implica que o conjunto de comprimentos de palavras em $L'$ é eventualmente periódico e, portanto, $N$ é periódico. Em particular, $N$ teria densidade racional assintótica. No entanto, $N$ tem densidade assintótica $1/\log_3 4$ , o que é irracional.