Leitor, Mônadas de escritor

Seja um CCC . Deixe ser um produto em bifunctor . Como Cat é CCC, podemos curry : $C$ $(\times)$ $C$ $(\times)$

$curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C)$

$curry (\times) A = \lambda B. A \times B$

A categoria de funções possui estrutura monoidal usual. $C \Rightarrow C$ Um monóide em é um mônade em . $C \Rightarrow C$ $C$ Consideramos produtos finitos como a estrutura monoidal em . $C$

$curry (\times) 1 \cong id$

$\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B)$

Portanto preserva a estrutura monoidal, portanto transporta um monóide para uma mônada e um comonóide para uma comonada. Ou seja, ele transporta um monóide arbitrário para mônada (veja a definição - deve ser um monóide). Da mesma forma, transporta o comonóide diagonal para a comonada de Coreader. $(curry (\times))$ $w$ $(Writer\ w)$ $w$

Agora, por concretude, desdobro a construção do Writer.

Início. Na verdade , eles simplesmente têm nomes distintos em Haskell. Temos um monóide Haskell : $Writer = Coreader = curry(\times)$ $\langle w, mappend, mempty\rangle$

$mappend : w\times w \to w$

$mempty : 1 \to w$

O Writer é um functor, portanto deve mapear também morfismos, como e . Eu escrevo isso como abaixo, embora seja inválido em Haskell: $mappend$ $mempty$

$Writer\ mappend : Writer(w\times w) \to Writer\ w$

$Writer\ mappend$ é uma transformação natural, um morfismo em . Por propriedades do , é uma função que recebe e fornece um morfismo em : $C\Rightarrow C$ $curry(\times)$ $a \in Ob(C)$ $C$

$Writer\ mappend\ a = mappend\times(id(a)) : Writer (w\times w) a \to Writer\ w\ a$

Informalmente, o soma componentes do tipo bombeia $Writer\ mappend\ a$ $w$ intacto. Esta é exatamente a definição de Writer em Haskell. Um obstáculo é que, para a Mônada Precisamos $a$ $\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$

$\mu : Writer\ w \circ Writer\ w \to Writer\ w$

ou seja, incompatibilidade de tipos. Mas esses functores são isomórficos: pelo associador usual de produtos finitos, que é um isomorfismo natural . Em seguida, definimos via . Eu omito a construção de via . $Writer (w\times w) = \lambda a. (w\times w)\times a$ $\cong \lambda a. w\times(w\times a) = Writer\ w \circ Writer\ w$ $\mu$ $Writer\ mappend$ $\eta$ $mempty$

O Writer, sendo um functor, preserva diagramas comutativos, ou seja, preserva as igualidades monóides, por isso temos garantido igualdades comprovadas para = um monóide em = uma mônada em . Fim. $\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$ $(C\Rightarrow C)$ $C$

E o Reader e o Cowriter? O Reader é adjacente ao Coreader, conforme explicado na definição de Coreader, veja o link acima. Da mesma forma, o Cowriter é adjacente ao Writer. Como não encontrei uma definição de Cowriter, criei-a por analogia mostrada na tabela:

texto alternativo

{- base, Hackage.category-extras -}
import Control.Comonad
import Data.Monoid
data Cowriter w a = Cowriter (w -> a)
instance Functor (Cowriter w) where
    fmap f (Cowriter g) = Cowriter (f . g)
instance Monoid w => Copointed (Cowriter w) where
    extract (Cowriter g) = g mempty
instance Monoid w => Comonad (Cowriter w) where
    duplicate (Cowriter g) = Cowriter
        (\w' -> Cowriter (\w -> g (w `mappend` w')))

Abaixo estão as definições simplificadas dessas (co) mônadas. fr_ob F indica um mapeamento de um functor F em objetos, fr_mor F indica um mapeamento de um functor F em morfismos. Existe um objecto monóide em . $\langle w,\hat{+},\hat{0}\rangle$ $C$

Escritor
- $fr\_ob (Writer\ w) a = a\times w$
- $fr\_mor (Writer\ w) f = \lambda \langle a_0,w_2\rangle. \langle a_0,f\ w_2\rangle$
- $\eta a = \lambda a_0. \langle a_0, \hat{0} \rangle$
- $\mu a = \lambda \langle \langle a_0,w_1\rangle,w_0\rangle. \langle a_0, w_0\hat{+}w_1\rangle$
Leitor
- $fr\_ob (Reader\ r) a = r\to a$
- $fr\_mor (Reader\ r) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
- $\eta a = \lambda a_0\ r_0. a_0$
- $\mu a = \lambda f\ r_0. f\ r_0\ r_0$
Coreader
- $fr\_ob (Coreader\ r) a = r\times a$
- $fr\_mor (Coreader\ r) f = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle f\ r_0,a_0\rangle$
- $\eta a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. a_0$
- $\mu a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle r_0,\langle r_0,a_0\rangle\rangle$
Cowriter
- $fr\_ob (Cowriter\ w) a = w\to a$
- $fr\_mor (Cowriter\ w) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
- $\eta a = \lambda f. f\ \hat{0}$
- $\mu a = \lambda f\ w_1 w_0. f (w_0\hat{+}w_1)$

A questão é que a adjunção em relaciona functores, não mônadas. Não vejo como a adjunção implica "Coreader é uma comonada" "Reader é uma mônada" e "Writer é uma mônada" "Cowriter é uma comonada". $C$ $\to$ $\to$

Observação. Estou lutando para fornecer mais contexto. Requer algum trabalho. Especialmente, se você precisar de pureza categórica e essas (co) mônadas foram introduzidas para programadores. Continue importunando! ;)

functional-programming pl.programming-languages ct.category-theory

— beroal
fonte

Oferta: Você pode tirar uma captura de tela da tabela e colocar a imagem aqui.

— MS Dousti 11/10/10

Você deve copiar a pergunta aqui.

— Dave Clarke

as pessoas que fizerem voto negativo devem postar um comentário explicando o porquê.

— Suresh Venkat

@Ohad. Confesso que apresentei essa alteração para tentar fornecer à pergunta mais contexto (como foi encontrado originalmente na postagem de blog originalmente referenciada). Eu acho que o beroal deveria gastar mais esforço para manter sua pergunta independente, por exemplo, definindo o que Reader, Writer, Coreader e Cowriter são em termos categóricos ou em Haskell ou em ambos, em vez de assumir que todos sabemos o que está sendo referido.

— Dave Clarke

@beroal: O que eu quis dizer foi que, como eu não uso Haskell no dia a dia, analisar o código Haskell e fazer a transição para o CT não é trivial para mim e talvez para outros. Ao reformular a questão em termos puramente categóricos, que são mais propensos a receber uma resposta mais rápida ...

— Ohad Kammar

Respostas:

Sim, se uma mônada tiver um adjacente correto , herdará automaticamente uma estrutura de comonada. $M : C \to C$ $N$ $N$

O cenário teórico geral da categoria para entender isso é o seguinte. Sejam e duas categorias. Faça para a categeory de functors de para ; Seus objetos são functores e seus morfismos transformações naturais. Faça para a subcategoria completo de $C$ $D$ $\mathrm{Fun}(C, D)$ $C$ $D$ $\mathrm{Fun}^L(C, D)$ $\mathrm{Fun}(C, D)$ nos functores que possuem adjuntos corretos (em outras palavras, consideramos os functores com adjuntos corretos e transformações naturais arbitrárias entre eles). Faça para o adjunto direito de um functor . Em seguida, é um funtor contravariante: se $C \to D$ $F^R : D \to C$ $F : C \to D$ $-^R : \mathrm{Fun}^L(C, D) \to \mathrm{Fun}(D, C)$ é uma transformação natural, em seguida, existe uma transformação induzida naturais . $\alpha : F \to G$ $\alpha^R : G^R \to F^R$

Se , em seguida, tem uma estrutura monoidal dada pela composição e o mesmo acontece com , porque a composição de adjuntos esquerda é um adjunto esquerdo. Especificamente, , então é um função contravariante antimonoidal. Se você aplicar às transformações naturais estruturais que equipam um functor $C = D$ $\mathrm{Fun}(C, C)$ $\mathrm{Fun}^L(C, D)$ $(FG)^R = G^R F^R$ $-^R$ $-^R$ $M$ com a estrutura de uma mônada, o que você ganha é uma comonada.

— Reid Barton
fonte

E deve-se mencionar que alguns desses functores, por exemplo

não é realmente um functor, mas algo como um pseudo-functor, porque normalmente satisfaz a funcionalidade apenas até isomorfismos canônicos. No entanto, o ponto principal é válido.

-^{R}

${-}^R$

— Andrej Bauer

A propósito, isso:

Deixe ser um produto em bifunctor . Como é CCC, podemos curry $(\times)$ $C$ $C$ $(\times)$

está um pouco incorreto. Por um lado, a terminologia usual seria (se não me engano) que é um bifunctor sobre ou em . "In" normalmente significa construções usando as setas e objetos de uma categoria, enquanto que os functors "on" categorias se referem a construções relacionadas a várias categorias. E o bifuncor de produto não é uma construção dentro de uma categoria cartesiana. $\times$ $C$

E isso está relacionado à maior imprecisão: a capacidade de curry o bifunctor do produto não tem nada a ver com sendo fechado cartesiano. Pelo contrário, é possível porque , a categoria de categorias (advertências de inserção) é fechada cartesiana. Portanto, o curry em questão é dado por: $C$ $Cat$

H o m_{C a t} (C \times D, E) ≅ H o m_{C a t} (C, E^{D})

$Hom_{Cat}(C \times D, E) \cong Hom_{Cat}(C, E^D)$

onde é um produto de categorias, e é a categoria de functors . Isso funciona independentemente de , e serem fechados cartesianos, no entanto. Quando deixamos , obtemos: $C \times D$ $E^D$ $F : D \to E$ $C$ $D$ $E$ $C = D = E$

\times : C \times C \to C

$\times : C \times C \to C$

c u r r y_{\times} : C \to C^{C}

$curry_\times : C \to C^C$

Mas este é apenas um caso especial de:

F : C \times D \to E

$F : C \times D \to E$

c u r r y_{F} : C \to E^{D}

$curry_F : C \to E^D$

— Dan Doel
fonte

2 Dan Doel: Sim, sim, obrigado. Cometi o erro ao traduzir a partir do post original beroal.livejournal.com/23223.html .

— beroal 20/10/10

Considere a adjunção . Para cada tal adjunção temos uma mônada e também um comonad . Notavelmente, e não precisam ser endofuncionais e, em geral, não são (por exemplo, a mônada da lista é um complemento entre os funções livres e esquecidas entre e $\langle F,G,\epsilon,\eta \rangle$ $\langle GF, \eta, G\epsilon F\rangle$ $\langle FG, \epsilon, F\eta G\rangle$ $F$ $G$ $\mathbf{Set}$ $\mathbf{Mon}$ )

Então, o que você quer fazer é pegar o Reader (ou o Writer) e decompô-lo nos functores adjacentes que dão origem à mônada e à comonada correspondente. O que significa que a conexão entre o Reader e o Coreader (ou o Writer e o Cowriter) não é a que você está procurando.

E provavelmente é melhor pensar em currying como , ou seja, . Ou, se ajudar, $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}) \cong \text{hom}({-}, {=}^A)$ $\forall X,Y.~ \lbrace f : X\times A \to Y \rbrace \cong \lbrace f^\ast : X \to Y^A \rbrace$ $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}\times 1) \cong \text{hom}({-}^1, {=}^A)$

— wren romano
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2 wren ng thornton: Não conheço nenhuma adjunção definidora para Reader e Writer semelhante à adjunção entre Set e uma categoria de estruturas algébricas. Ou você quer dizer que toda mônada é definida por uma adjunção como em "MacLane. Categorias para o matemático que trabalha. VI. Mônadas e álgebras. 2. Álgebras para uma mônada. Teorema 1 (Toda mônada é definida por suas álgebras T). "? Você pode ser mais específico? Na verdade, minha pergunta é a conclusão de uma tentativa de definir essas (co) mônadas em palavras elegantes como a mônada da lista.

— beroal 20/10/10

T

$T$

F : S e t \to M o n

$F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}$

U : M o n \to S e t

$U:\mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}$

η : {id}_{S e t} \to U F

$\eta:\text{id}_{\mathbf{Set}}\to UF$

ϵ : F U \to {id}_{M o n}

$\epsilon:FU\to\text{id}_{\mathbf{Mon}}$

⟨ F, U, η, ϵ ⟩

$\langle F,U,\eta,\epsilon \rangle$

⟨ U F, η, U ϵ F ⟩

$\langle UF,\eta, U\epsilon F\rangle$

S e t

$\mathbf{Set}$

M o n

$\mathbf{Mon}$

⟨ F U, ϵ, F η U ⟩

$\langle FU,\epsilon, F\eta U\rangle$

Os Functors (Reader a) e (Writer a) são adjuntos, e essa adjunção dá origem à mônada (State a).

— beroal

"Não, meu argumento era que mônadas e comônadas surgem" da mesma maneira ", nomeadamente através de uma adjunção, como descrito acima". Se você obtém a mônada e a comonada na adjunção entre as categorias Set e Mon, obtém a mônada em Set e a comonad em Mon - categorias diferentes. Mas Reader e Writer estão na mesma categoria do CCC.

— beroal 25/10/10