Aproximando o automorfismo não trivial dos grafos?

Gráfico automorphism é uma permutação de nodos gráfico que induz uma bijeç~ao sobre o conjunto de arestas . Formalmente, é uma permutação de nós como iff $E$ $f$ $(u,v)\in E$ $(f(u),f(v))\in E$

Defina uma aresta violada para alguma permutação como uma aresta mapeada para não aresta ou uma aresta cuja pré-imagem não seja aresta.

Entrada : Um gráfico não rígido $G(V, E)$

Problema : encontre uma permutação (sem identidade) que minimize o número de arestas violadas.

Qual é a complexidade de encontrar uma permutação (sem identidade) com número mínimo de arestas violadas? O problema é difícil para gráficos com o grau máximo limitado (sob alguma hipótese de complexidade)? Por exemplo, é difícil para gráficos cúbicos? $k$

Motivação: O problema é um relaxamento do problema do automorfismo de grafos (GA). O gráfico de entrada pode ter automorfismo não trivial (por exemplo, gráfico não rígido). Quão difícil é encontrar um automorfismo aproximado (permutação por armário)?

Editar 22 de abril

Um gráfico rígido (assimétrico) possui apenas automorfismo trivial. Um gráfico não rígido possui alguma simetria (limitada) e eu gostaria de entender a complexidade de aproximar sua simetria.

— Mohammad Al-Turkistany
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O problema é trivial, a permutação de identidade é sempre ideal.

— Jukka Suomela 11/10/10

@Jukka, No gráfico Problema de automorfismo, buscamos automorfismo não trivial. Da mesma forma, aqui não estou interessado na permutação de identidade.

— Mohammad Al-Turkistany

Na verdade, estou sugerindo que você possa estar fazendo a pergunta errada ... Talvez ajudasse se você contasse sua motivação ou aplicação.

— Jukka Suomela 11/10/10

O problema é um relaxamento do problema do automorfismo gráfico (GA). O gráfico de entrada pode ter automorfismo não trivial. Quão difícil é encontrar um automorfismo aproximado (permutação por armário)?

— Mohammad Al-Turkistany

Não entendo por que você está se limitando a gráficos não rígidos, onde o valor ótimo real é zero. Em gráficos rígidos, o fator de aproximação pode ser mais interessante.

— Derrick Stolee

Respostas:

Não entendo muito bem a motivação. No entanto, deixe-me fornecer uma resposta para uma pergunta relacionada. Na estrutura de teste de propriedades, você recebe dois gráficos ad e deseja distinguir dois casos com base no parâmetro : $G$ $H$ $\epsilon$

e são isomórficos $G$ $H$
Qualquer bijeção de a causa erro em pelo menos arestas. $G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

A métrica de complexidade é o número de probes para as matrizes de adjacência e o objetivo é distinguir os dois casos com alta probabilidade usando um número sub-linear de probes.

Eldar Fischer e Arie Matsliah ( obrigado, arnab ) têm um artigo na SODA 2006 sobre precisamente esse problema. Embora ele não se conecte diretamente ao seu problema, pode ser um caminho para uma possível formulação de problemas e pode até fornecer técnicas úteis para você.

— Suresh Venkat
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De fato, esse problema também é interessante.

— Mohammad Al-Turkistany

Apenas uma correção: esse trabalho é conjunto com Arie Matsliah.

— arnab

Se considerarmos que e são o mesmo gráfico, podemos garantir que temos menos de colisões em uma permutação não trivial trocando qualquer par de vértices. Isso é muito menor que .

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— Derrick Stolee

Um resultado de Eugene Luks ("O isomorfismo de gráficos de valência limitada pode ser testado em tempo polinomial ") mostra que o isomorfismo (ou automorfismo) de gráfico para gráficos de graus limitados está em tempo polinomial. Portanto, se você está procurando algum quase automorfismo (não-identidade, como Jukka apontou) para gráficos cúbicos que não são rígidos, podemos usar o algoritmo de Luks e pegar qualquer automorfismo não trivial no gráfico.

— Ramprasad
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Eu dei uma olhada no artigo e meu entendimento é que ele resolve o problema de decisão do GA de grau limitado em tempo polinomial. Minha pergunta é um problema de otimização. Além disso, você não pode excluir gráficos rígidos.

— Mohammad Al-Turkistany