Qual é a complexidade desse problema de caminho?

Instância: Um gráfico não direcionado com dois vértices distintos e um número inteiro . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Pergunta: Existe um caminho em , de modo que o caminho toque no máximo vértices? (Um vértice é tocado pelo caminho se o vértice estiver no caminho ou tiver um vizinho no caminho.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
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Isso soa como uma minimização submodular restrita. Infelizmente, não está claro que o conjunto de restrições admita uma solução eficiente.

— Suresh Venkat 16/02

Minha resposta de

provavelmente estava incorreta! Depois de verificar com mais cuidado, a heurística não parece monótona.

A^{*}

$A^*$

— usul

Seguindo o comentário de Suresh, vale a pena conferir o artigo "Aproximabilidade de problemas combinatórios com funções de custo submodular de múltiplos agentes", que mostra que o caminho mais curto do custo submodular é difícil. Talvez existam idéias que demonstrem dureza. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri 17/02/02

Esse problema pode ser reformulado ao encontrar um subgrafo da lagarta com no máximo

vértices que inclui

em seu caminho mais longo.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu

@Obinna o sub-grico lagarta é necessário para ser mima num sentido, porque deve incluir todos os vizinhos do caminho mais longo

— SAMM

Respostas:

Este problema foi estudado em:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: Problemas de conectividade isolados. SEC 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Eles chamaram isso de problema de caminho isolado. É realmente NP-difícil, e a versão de otimização não tem aproximação de fator constante.

A motivação que os autores fornecem é uma configuração em que as informações são enviadas pelo caminho, e somente os vizinhos e os nós no caminho podem vê-las. O objetivo é minimizar a exposição.

— user20655
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Editar: Consulte a resposta do usuário20655 abaixo para obter uma referência a um artigo que já comprove a dureza desse problema. Deixarei minha postagem original, caso alguém queira ver essa prova alternativa.

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$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

$x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

$s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

$x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Construção da instância difícil

$\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (isso é intuitivo, pois excluir uma das duas opções de qualquer variável escolhida duas vezes gera um caminho válido com custo não maior do que mantivemos os dois).
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
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