Participação não trivial em NP


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Existe um exemplo de uma linguagem que está em NP , mas onde não podemos provar este fato diretamente ao mostrar que existe uma testemunha polinomial para a adesão nesta língua?

Em vez disso, o fato de o idioma estar no seria comprovado reduzindo-o para outro idioma no , onde o vínculo entre os dois não é trivial e requer uma análise cuidadosa.NPNP

De maneira mais geral, existem alguns exemplos interessantes de problemas no para que seja difícil perceber que eles estão no ?NPNP

Uma semi-resposta seria o problema de decidir o vencedor em jogos de paridade: para mostrar que ele está em (mesmo ), precisamos do teorema da determinação posicional que é profundo e não trivial. No entanto, essa resposta não é ideal, porque ainda se resume à existência de uma testemunha polinomial para esse problema exato (a estratégia posicional) e não se reduz a outro problema diferente .NPNPcoNPNP

Outro seria o algoritmo de primalidade da AKS: decidir se um número é primo é polinomial, enquanto não há, a priori, uma pequena testemunha desse fato. Digamos que excluamos os "algoritmos polinomiais surpreendentes", pois muitos deles se encaixariam na descrição acima. Estou mais interessado em algoritmos surpreendentes que não são determinísticos.NP


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Sabíamos que primos estavam em NP antes de AKS porque n>2 é primo se houver 1<r<n tal que e para todos os divisores primos q de , . n - 1 r n - 1rn1=1modnn1rn1q1modn
Artem Kaznatcheev

ah interessante, eu não pensei em certificados de primalidade.
Denis

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Um bom conjunto de exemplos de associação não trivial ao NP pode advir de problemas pelos quais está aberto há algum tempo se eles foram decididos. Dois problemas do topo do meu chapéu: reconhecimento de gráfico de cordas e reconhecimento de nós (e o gênero mais geral dos nós). Em ambos os casos, porém, existe uma testemunha polinomial (ou seja, curvas / superfícies normais) - elas foram difíceis de encontrar. A atadura também está no PN, e também não é trivial: existe um certificado, mas é preciso que a Hipótese Generalizada de Riemann tenha um polinômio vinculado ao seu tamanho.
Arnaud

O 'Problema da Órbita' também não era conhecido por ser decidido por um longo tempo. Finalmente, provou-se que está em P. Prof. Lipton tem um excelente artigo em seu blog sobre a história desse problema: rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/02/the-orbit-problem
Jagadish

3
Mais um exemplo: dado um gráfico, decida se é perfeito. O problema pode ser resolvido em tempo polinomial, mas demorou um pouco para provar que está em NP.
21714 Jagadish

Respostas:


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Programação Inteira .

Mostrando que, se houver uma solução inteira, existe uma solução inteira de tamanho polinomial bastante envolvida. Vejo


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Veja Christos Papadimitriou, Sobre a complexidade da programação inteira , JACM 28 765-768. dx.doi.org/10.1145/322276.322287 (vale a pena ler, e apenas quatro páginas).
András Salamon

1
Se você não tem acesso ao ACM DL, pode obter o artigo de Papadimitriou aqui .
21414 Kaveh

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Enquanto o problema "é o número de cruzamento de um gráfico no máximo ?" é trivial em NP, a associação NP dos problemas relacionados ao número de cruzamento retilíneo e ao número de cruzamento de pares não é altamente óbvia; cf. Bienstock, Alguns problemas provavelmente difíceis de cruzar números, Computação Discreta. Geometry 6 (1991) 443-459, e Schaefer et al., Reconhecendo gráficos de cordas em NP, J. Comput. Sci do sistema 67 (2003) 365-380.k


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Meu exemplo favorito é um resultado clássico de 1977 de Ashok Chandra e Philip Merlin. Eles mostraram que o problema de contenção de consultas era decidível para consultas conjuntivas. O problema de contenção de consulta conjunta acaba sendo equivalente a decidir se existe um homomorfismo entre as duas consultas de entrada. Isso reformula um problema semântico, envolvendo quantificação em um conjunto infinito, em um problema sintático, exigindo apenas a verificação de um número finito de possíveis homomorfismos. O certificado de homomorfismo é apenas de tamanho linear e, portanto, o problema está no NP.


Esse teorema fornece um dos fundamentos da teoria da otimização de consultas ao banco de dados. A idéia é transformar uma consulta em outra, mais rápida. No entanto, deseja-se garantir que o processo de otimização não crie uma nova consulta que não forneça respostas em alguns bancos de dados em que a consulta original produziu resultados.

Formalmente, uma consulta ao banco de dados é uma expressão do formulário , onde x é uma lista de variáveis ​​livres, y é uma lista de variáveis ​​vinculadas e Q ( x , y ) é uma fórmula de primeira ordem com variáveis x e y de um idioma com símbolos de relação. A consulta Q pode conter quantificadores existenciais e universais, a fórmula pode conter conjunção e disjunção de átomos relacionais e a negação também pode aparecer. Uma consulta é aplicada a uma instância de banco de dados Ix.Q(x,y)xyQ(x,y)xyQI, que é um conjunto de relações. O resultado é um conjunto de tuplas; quando tupla no resultado é substituído por xtx , a fórmula pode ser satisfeita. Pode-se então comparar duas consultas: Q 1 está contida em Q 2 se sempre que Q 1 aplicado a um banco de dados arbitrária exemplo I produz alguns resultados, então Q 2 aplicado ao mesmo exemplo que também produz alguns resultados. (Tudo bem se Q 1 não produzir resultados, mas Q 2Q(t,y)Q1Q2Q1IQ2IQ1Q2mas, para contenção, a implicação deve ser mantida para todas as instâncias possíveis.) O problema de contenção de consulta pergunta: dadas duas consultas ao banco de dados e Q 2 , Q 1 está contido em Q 2 ?Q1Q2Q1Q2

Não ficou claro diante de Chandra-Merlin que o problema era decidível. Usando apenas a definição, é preciso quantificar o conjunto infinito de todos os bancos de dados possíveis. Se as consultas são irrestritas, então o problema é, na verdade, undecidable: deixe ser uma fórmula que é sempre verdadeiro, então Q 1 está contida em Q 2 sse Q 2 é válido. (Este é o problema de Hilts , Entscheidung , mostrado indecidível por Church e Turing em 1936.)Q1Q1Q2Q2

Para evitar indecidibilidade, uma consulta conjuntiva tem uma forma bastante limitada: contém apenas quantificadores existenciais, e negação e disjunção não são permitidas. Então Q é uma fórmula existencial positiva com apenas conjunção de átomos relacionais. Este é um pequeno fragmento de lógica, mas é suficiente para expressar uma grande proporção de consultas úteis ao banco de dados. A declaração clássica no SQL expressa consultas conjuntivas; a maioria das consultas de mecanismos de pesquisa é conjunta.QQSELECT ... FROM

Pode-se definir homomorfismos entre consultas de maneira direta (semelhante ao homomorfismo de gráfico, com um pouco de contabilidade extra). O teorema de Chandra-Merlin diz: dadas duas consultas conjuntivas e Q 2 , Q 1 está contida em Q 2 se houver um homomorfismo de consulta de Q 2 a Q 1 . Isso estabelece a associação ao NP e é fácil mostrar que isso também é difícil para o NP.Q1Q2Q1Q2Q2Q1

  • Ashok K. Chandra e Philip M. Merlin, Implementação Ótima de Consultas Conjuntivas em Bases de Dados Relacionais , STOC '77 77–90. doi: 10.1145 / 800105.803397

Decidibilidade de contenção consulta foi mais tarde estendido para uniões de consultas conjuntivo (consultas positivos existenciais onde disjunção é permitido), embora permitindo disjunção aumenta a complexidade para -completo. Também foram estabelecidos resultados de decidibilidade e indecidibilidade para uma forma mais geral de contenção de consultas , envolvendo avaliações semirráficas que ocorrem ao contar o número de respostas, ao combinar anotações na proveniência ou ao combinar resultados de consultas em bancos de dados probabilísticos.Π2P


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Encontrei um bom candidato ao ler alguns artigos sobre equações diofantinas quadráticas:

JC Lagarias, Certificados sucintos de soluções para equações diofantinas quadráticas binárias (2006)

A partir do resumo: ... Seja o comprimento da codificação binária da equação diofantina quadrática binária F dada por a x 2 1 + b x 1 x 2 + c xL(F)F. Suponha queFé uma equação que possui uma solução inteira não negativa. Este documento mostra que existe uma prova (ou seja, "certificado") de queFpossui uma solução que pode ser verificadaax12+bx1x2+cx22+dx1+ex2+f=0FFOperações de bits O ( L ( F ) 5 log L ( F ) log log L ( F ) ) . Um corolário desse resultado é que o conjunto Σ = { F : F  possui uma solução inteira não negativa } está na classe de complexidade NP ...O(L(F)5logL(F)loglogL(F))Σ={F:F has a nonnegative integer solution}

... mas - para ser sincero - a única evidência que tenho de que não é trivial é o número de páginas do artigo ... 62! :-)



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Decidir a acessibilidade para vários tipos de sistemas de estado infinito às vezes é decidível, geralmente não. Para alguns casos especiais interessantes, sempre existe um certificado pequeno o suficiente e verificável com eficiência, colocando esses problemas no NP. Aqui está um tratamento elegante para autômatos paramétricos de um contador:


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NPL1,L2L1NPL2NPL

L=L1if the twin prime conjecture is true, and L=L2otherwise

LNPLNPNP , eleva-se a resolver o famoso números primos gémeos conjectura, por isso é certamente não trivial ...


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L={x:xL2¬m|x|}L2
Joshua Grochow
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