A soma do subconjunto do DAG é aproximada?

Nos é dado um gráfico acíclico direcionado com um número associado a cada vértice ( ) e um número alvo .g : V → N T ∈ $G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

O problema de soma de subconjuntos do DAG (pode existir com um nome diferente, uma referência será ótima) pergunta se existem vértices , de modo que e é um caminho em .Σ v i g ( v i ) = T v 1 → . . → v k$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Esse problema é trivialmente NP-Completo, pois o gráfico transitivo completo gera o problema clássico de soma de subconjuntos.

Um algoritmo de aproximação para o problema de soma de subconjuntos do DAG é um algoritmo com as seguintes propriedades:

1. Se existir um caminho com a soma T, o algoritmo retornará TRUE.
2. Se não houver um caminho que resuma um número entre e para alguns c \ in (0,1) , o algoritmo retornará FALSE.T c ∈ ( 0 , 1 $(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Se houver um caminho que se soma a um número entre $(1 − c)T$ e $T$ , o algoritmo pode gerar qualquer resposta.

Sabe-se que a soma do subconjunto é aproximada em tempo polinomial para todos os $c>0$ .

O mesmo vale para DAG-Subset-Sum?

Parece-me que o algoritmo de programação dinâmica de tempo pseudo-polinomial para o problema de Subconjunto de soma também funciona para esse problema. Para cada vértice , calculamos o conjunto consiste em todos os valores possíveis de caminhos terminados em . Então, temos a relação de recorrência: . Seguindo uma ordem topológica, todo o pode ser calculado no tempo , onde é o peso total e é o número de arestas.$v_i$$L_i$$v_i$$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Eu acho que o escalonamento e arredondamento padrão também pode ser aplicado para derivar um FPTAS.