Dimensão VC dos cilindros dentro de um cilindro

Desejo conhecer a dimensão VC de um espaço de intervalo construído da seguinte maneira:$(X,\mathcal{R})$

1. $X$ é o cilindro $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\}$
2. Os intervalos em $\mathcal{R}$ são formados pela união de discos circulares, de modo que:
   • o plano que contém o disco é ortogonal ao eixo z ("empilhamos" os discos na direção z)
   • um disco é tangente ao limite do cilindro no ponto $(1,0,z)$
   • um disco tem diâmetro $f(z)+1$ , onde $f(z)$ é delimitado (estritamente) por $-1<f(z)<1$ e aumentando estritamente monotonicamente, estritamente monotonicamente diminuindo ou constante.
3. Qualquer conjunto construído girando uma dessas faixas em torno do eixo z por um ângulo arbitrário também é uma faixa.

Intuitivamente, imagine pegar um conjunto de moedas (circular, é claro) e classificá-las por diâmetro, diminuindo ou aumentando. Em seguida, solte-os cuidadosamente em um tubo (o cilindro principal) nessa ordem, para que cada um fique no último. Agora incline o tubo levemente para que todos descanse na lateral do cilindro. Se nossas moedas tivessem espessura zero e tivéssemos uma para cada número real, esse seria o nosso alcance.

Estou mais interessado no caso de $f(z)$ ser sigmóide, como a função de erro ou $\tanh$ . Especificamente, estou interessado nos intervalos cilíndricos formados pela família de funções $\tanh(\alpha(z-\beta))$ , onde $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ .

Eu sei que esse espaço de alcance tem pelo menos VC-dim 4 (eu posso construir um conjunto de quatro pontos que ele quebra), mas estou interessado em colocar um limite superior nele e entender o porquê. Eu sei disso:

1. Os discos circulares em $\mathbb{R}^2$ possuem VC-dim 3
2. Os subconjuntos da faixa que são delimitados acima ou abaixo por têm pelo menos VC-dim 3, provavelmente igual a 3, porque a parte da inclinação da função atua como uma linha tanh ( α ( z - β ) ) $\{-1\leq y\leq 1\}\subset\mathbb{R}^2$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\tanh$

Existe alguma maneira de combinar esses fatos para obter um limite superior na dimensão VC ? Há algo a dizer sobre que atenda aos critérios de (2)?$f(z)$

Você precisa da restrição sigmóide em para que a dimensão VC seja finita. Caso contrário, você pode deixar comportar como uma escada, com arbitrariamente muitos passos. Então essas escadas podem ter arbitrariamente muitos cruzamentos. Isso permite que intervalos admitam subconjuntos diferentes. f n 2 $f$$f$$n$$2^n$

Se for um polinômio, você poderá vincular a dimensão VC usando o grau do polinômio (combinado com o grau do polinômio (2) que descreve o disco). Mas não sei como aplicar esse tipo de resultado para .$f(z)$$\tanh$