Coloração de gráfico minimizando o número de cores em cada conjunto independente

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A reivindicação a seguir é conhecida?

Reivindicação : Para qualquer gráfico com vértices existe uma coloração de tal que todo conjunto independente é colorido com no máximo $G$ $n$ $G$ cores. $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
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A seguinte afirmação é conhecida por mim, mas pode não contar porque não está publicada: Qualquer gráfico em vértices pode ser colorido para que qualquer subgrafo induzido do número cromático no máximo use no máximo cores, onde . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Esta é uma prova por indução; a motivação era considerar as cores que usam poucas cores, não apenas no gráfico, mas também em todos os subgráficos induzidos. Não estou ciente de nenhum resultado publicado.

— Aravind
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Não é exatamente o que você pede, mas aqui está um limite inferior - um gráfico para o qual qualquer coloração resultará em um conjunto independente colorido por cores: $\sqrt{n}$

Tome cópias de $\sqrt{n}$ e conecte todos os vértices a um único vértice. $K_{\sqrt{n}}$ $s$

Obviamente, todo conjunto de vértices dediferentessão independentes e em todas as cópias de $\sqrt{n}$ $K$ você pode encontrar pelo menos uma cor "nova". $K_{\sqrt{n}}$

Esse limite inferior pode ser facilmente aprimorado para ou assim se conectarpara um único vértice, mas permanece apenas $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ cores. $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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O segundo exemplo não parece melhorar o limite. Eu acho que qualquer IS pode ser colorido usando

. Por exemplo, para n = 9,

é colorido em azul,

em verde e vermelho e

em azul, verde e vermelho. Qualquer máxima é é colorido por 2 cores, não 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

Não sei bem o que você quer dizer. O segundo exemplo melhora o limite, mas não assintoticamente. Você pode construir um ~

colorido IS de tamanho usando o vértice de

, o vértice de

com uma cor diferente e assim por diante (de

, pegaremos um vértice colorido por uma cor que ainda não existe em nosso IS). E isso vale para todos os coloração de

.

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB

Além disso, no seu exemplo, o IS que inclui o vértice azul de

, o verde de

e o vermelho de

é colorido por 3 cores.

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB

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@RB obrigado pelo exemplo. seu segundo gráfico fornece um limite inferior aproximadamente

, este é o número tal que

.

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— Igor Shinkar

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E a prova a seguir? Se , então a alegação é óbvia. Suponha o contrário, e sejaum conjunto independente decom cardinalidade máxima. Corcom cor 1, cor e forma recursiva o gráficocom cores. Agora, seé um conjunto independente de, considere. Pela hipótese de indução,é colorido com no máximo $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ cores e, portanto,é colorido com no máximo $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ cores; a desigualdade é mantida pelo pressuposto de que $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ . $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

(na solicitação de mesclagem de perfil) a meta é um bom lugar para postar essa solicitação.

— Suresh Venkat