Propriedade gráfica NP-completa que é hereditária, mas não aditiva?


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Uma propriedade de gráfico é chamada de hereditária se fechada com relação à exclusão de vértices (ou seja, todos os subgráficos induzidos herdam a propriedade). Uma propriedade de gráfico é chamada aditiva se for fechada com relação à obtenção de uniões disjuntas.

Não é difícil encontrar propriedades hereditárias, mas não aditivas. Dois exemplos simples:

(1) O gráfico está completo.

(2) O gráfico não contém dois ciclos separados por vértices.

Nesses casos, é óbvio que a propriedade é herdada por subgráficos induzidos, mas, tendo dois gráficos separados que possuem a propriedade, sua união pode não preservá-la.

Ambos os exemplos acima são propriedades decidíveis pela polytime (embora para (2) seja um pouco menos trivial). Se quisermos propriedades mais difíceis, elas ainda poderão ser criadas seguindo o padrão de (2), mas substituindo os ciclos por tipos de gráficos mais complicados. Em seguida, no entanto, que pode facilmente correr para a situação em que o problema não mesmo permanecer em , com base em hipóteses complexidade padrão, tais como N P C O N P . Parece menos trivial para encontrar um exemplo que estadias dentro N P , mas ainda é difícil.NPNPcoNPNP

Pergunta: Você conhece um (de preferência natural) propriedade gráfico -completo que é hereditária, mas não aditivo?NP


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Você já fez várias perguntas agora sobre propriedades "naturais". Pode ser útil entender qual é a motivação para algumas dessas perguntas.
Suresh Venkat

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@Suresh Gostaria de entender melhor o que torna um problema natural, em oposição a artificial, artificial. Penso que o conceito de naturalidade é uma ponte importante entre teoria e realidade, e vale a pena explorar. O que acho intrigante é que, embora não tenhamos uma definição formal de quais problemas são "naturais", as pessoas geralmente têm um consenso claro sobre se um problema específico é natural ou não. Talvez eu publique uma pergunta separada sobre esse problema, para descobrir mais sobre como os outros o veem.
Andras Farago

Respostas:


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kk

Claramente, a captura de subgráficos induzidos não pode aumentar o tamanho mínimo dessa partição. Por outro lado, quando você toma a união disjunta de dois gráficos, deve-se levar a união da partição para grupos de cada um.


k

kk

khereditarykk

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kk

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k=3G1G2

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Considere este problema

GPQ

Permanece NP completo, mesmo que as propriedades sejam hereditárias.

Agora, claramente, uma solução do problema acima para um gráfico também fornece solução para os subgráficos induzidos. Mas, ao obter a união de gráficos da mesma família que G, talvez não seja possível resolver usando essa solução.

Por exemplo, o particionamento de gráficos gerais em gráficos de intervalos unitários separados é NP completo, mas após a união de todas as arestas possíveis (completando o gráfico) resolve o problema trivialmente.


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Observe que a pergunta procura uma propriedade que não seja aditiva. No seu exemplo, nada parece garantir que devem existir dois gráficos que possuem a propriedade, mas a união desunida deles não.
Andras Farago

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G=(V,E)C1,,CmCiVECi

k3Gk

k=2

Se (1) for verdadeiro, deverá responder à sua pergunta, pois fornece uma propriedade hereditária, mas claramente não aditiva.

(NOTA ADICIONADA: a conjectura (2) é diferente da "conjectura de cobertura de ciclo duplo" de Szekeres e Seymour, apesar do homonimismo).


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Esta propriedade não é hereditária. A remoção de um vértice pode aumentar o número necessário de ciclos para cobrir todas as arestas, porque o vértice removido pode eliminar um ciclo que foi usado para cobrir muitas arestas. O exemplo mais simples é quando o gráfico inteiro é apenas um ciclo. A remoção de um vértice impossibilita a cobertura de um ciclo, pois não resta nenhum ciclo.
Andras Farago

GGvv

k
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