Intuição: Ciclo ímpar transversal em gráficos sem triângulo

Conjeturo que, se é um gráfico livre de triângulo simples, em seguida, existe um conjunto de, no máximo, bordas cuja eliminação destrói cada ciclo estranho. $G$ $n^2/25$

Para obter mais informações, consulte o artigo de Erdös et al., 1988, Como fazer um gráfico bipartido .

Pergunta 1: Essa conjectura é verdadeira por sua intuição?

Pergunta 2: Qual é a complexidade de contar o número de ciclos ímpares em um gráfico? Existe algum algoritmo eficiente para fazer isso?

graph-theory

— Rupei Xu
fonte

Minha intuição diz que você precisa de mais do que isso (considere o gráfico de 3 grupos de

vértices

modo que haja todas as arestas

, não pensei através). Um

é um tanto mais intuitiva ligado. Mas minha intuição também diz: "Se Erdös disse isso, tem que ser verdade :)". Contar ciclos simples de comprimento exatamente

é #W [1] -hard (em relação a

n / 3

$n/3$

V_{1}, V_{2}, V_{3}

$V_1,V_2,V_3$

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{1}

$V_1 \to V_2 \to V_3 \to V_1$

n^{2} / 9

$n^2/9$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$ ), mas pode haver uma maneira mais fácil de encontrar todos os ciclos ímpares.

— RB

@RB Isso já deve ser uma resposta.

— Yixin Cao

Na verdade, eu ignorei completamente a parte sem triângulo: o. Para tais gráficos, minha intuição diz que é verdade, e apertado (considere

para a igualdade de partição

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{4} \to V_{5} \to V_{1}

$V_1\to V_2\to V_3\to V_4\to V_5\to V_1$

V_{1}, . ., V_{5}

$V_1,..,V_5$

— RB

Caro Rupei, existem duas conjecturas conhecidas de erdos, nas quais o gráfico proposto por RB (e talvez você também tenha em mente) deve fornecer o valor extremo. Um é o número máximo de pentágonos em gráficos sem triângulo com 5n vértices e o outro é o mesmo que a sua conjectura no número mínimo de arestas necessárias para transformar um gráfico sem triângulo em bipartido. Lembro-me vagamente de que houve um progresso substancial na primeira conjectura recentemente, mas talvez eu misture as duas.

— Gil Kalai

@ GilKalai, muito obrigado por seus comentários, prezado professor Kalai, encontrei o seguinte artigo que mostra os resultados que você quer dizer: Simonovits, Miklós. "A influência de Paul Erdős na teoria dos grafos extremais." A matemática de Paul Erdös II. Springer Berlin Heidelberg, 1997. 148-192.

— Rupei Xu

Respostas:

Minha intuição diz que provavelmente é verdade, e aqui está um limite inferior correspondente (ou seja, um gráfico do qual você deve excluir pelo menos arestas para se tornar bipertita: $\frac{n^2}{25}$

, $G=(V_1\cup V_2\cup V_3\cup V_4\cup V_5, (V_1\times V_2) \cup (V_2\times V_3) \cup (V_3\times V_4) \cup (V_4\times V_5) \cup (V_5\times V_1))$ . $|V_1| = |V_2| = |V_3| = |V_4| = |V_5|$

Este gráfico é certamente livre de triângulo, mas se $x<\frac{n^2}{25}$ $C_5=v_1\to v_2\to v_3\to v_4\to v_5 \to v_1$ $v_1\in V_1, v_2\in V_2, v_3\in V_3, v_4\in V_4, v_5\in V_5$

$2k+1$ $\#W[1]-hard$ $k$ $n^{o(k)}$

$O^*(2^{O(k)})$

— RB
fonte

O * (2^{O (k)})

$O∗(2^{O(k)})$

O^{*} (f (k))

$O^*(f(k))$

\tilde{O} (f (n))

$\widetilde O(f(n))$

O (f (n) p o l y l o g (f (n)))

$O(f(n)polylog(f(n)))$

n

$n$

O^{*}

$O^*$

Obrigado pela sua referência, é interessante ver uma notação em diferentes significados.

— Saeed

Uma abordagem para provar sua conjectura seria tentar usar o lema de regularidade de Szemerédi , semelhante à maneira como o lema de remoção de triângulo é comprovado (veja, por exemplo, aqui ). Não sei se você obterá as constantes corretas dessa abordagem.

— bolinho de massa mobius
fonte

No lema de regularidade do Szemerédi, normalmente ele assume um grande número de partições, o valor exato da partição não é fácil de obter. Gostaria de saber que talvez não funcione aqui.

— Rupei Xu 15/05