Referência para as línguas Dyck sendo

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Idiomas dyck são definidos pela seguinte gramática $\mathsf{Dyck}(k)$ sobre o conjunto de símbolos . Linguagens intuitivamente dyck são as linguagens de parênteses balanceados de tipos diferentes. Por exemplo,

S \to S S | (_{1} S)_{1} | \dots | (_{k} S)_{k} | ϵ

$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$

{(_{1}, \dots, (_{k},)_{1}, \dots,)_{k}}

$\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$

k

$k$

está em

mas

([]) ()

$(\,[\,]\,)\,(\,)$

D y c k (2)

$\mathsf{Dyck}(2)$

não é.

([)]

$(\,[\,)\,]$

No papel

Algoritmos dinâmicos para os idiomas dyck de Frandsen, Husfeldt, Miltersen, Rauhe e Skyum, 1995,

alega-se que o seguinte resultado é folclore:

é completo sobreduções de . $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $\mathsf{AC}_0$

Existe alguma referência conhecida para a reivindicação acima? Em particular, estou procurando resultados que mostrem pelo menos um dos seguintes:

está em para arbitrário. $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $k$
é -hard para arbitrário. $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $k$

O artigo mais próximo que encontro é

Bi-Lipschitz Bijection entre o cubo booleano e a bola de Hamming , por Benjamini, Cohen e Shinkar, 2013

que me redireciona para o artigo Reconhecimento do espaço de log e tradução de idiomas entre parênteses por Lynch, que provou que (ou seja, parênteses normais balanceados) está em . $\mathsf{Dyck}(1)$ $\mathsf{TC_0}$

Quaisquer documentos relacionados também são bem-vindos. Obrigado!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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5

$\mathsf{NC}^1$

— SamiD
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6

$AC_0$ $\rm Majority$ $Dyck(1)$ $\rm Majority$ $AC_0$ $Dyck(k)$ $k \geq 1$ $AND$ $OR$ $NOT$ $Dyck(1)$

$x \in \{0,1\}^n$ $\rm Majority$
$y \in \{0,1\}^{2n}$ $0$ $(($ $1$ $()$
$i = 1,\dots, n/2$ $z_i$ $y$ $2i$ $z_i = y \circ )^{2i}$
$z_i \in Dyck(1)$ $i = 1,\dots, n/2$

$z_i$ $OR$

$\rm Majority$ $z_i \in Dyck(1)$ ${\rm weight}(x) = n - i$

— Igor Shinkar
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Obrigado. Você conhece algum documento que contenha o resultado acima? (É ok se o papel não é o original / mais antigo um, eu estou tentando rastrear a história.)

— Hsien-Chih Chang張顯之

Hmmm ... por algum motivo, presumi que uma redução semelhante aparecesse no jornal de Lynch ... não conheço nenhuma outra referência para isso.

— Igor Shinkar 16/03