Quais propriedades dos gráficos planares generalizam para dimensões / hipergrafos mais altos?

Um gráfico planar é um gráfico que pode ser incorporado no plano, sem ter arestas de cruzamento.

Seja um hipergrafo k -uniforme, isto é, um hipergrafo de modo que todas as suas hiperedições tenham tamanho k.$G=(X,E)$$k$

Houve algum trabalho realizado na incorporação de hipergrafos no plano (com o contexto de cluster ou outro aplicativo), mas geralmente os dados não podem ser incorporados no plano. A solução pode ser forçá-lo, com alguma perda, ou incorporá-lo em uma dimensão superior, como sugiro aqui:

Uma extensão natural de planaridade (IMO, pelo menos) é um " incorporação -simples-" (existe um nome diferente conhecido por isso?) De L : uma incorporação de H : X → R k , de tal modo que existem superfícies que ligam todos os vértices de cada hiper-borda e estes não se cruzam, exceto os pontos de extremidade.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Pense no analógico em 2D, onde cada superfície é uma aresta que você pode desenhar da maneira que desejar).

Aqui está um exemplo de uma incorporação 3-simples válida de um hipergrafo 3-uniforme. (Cada vértice é colorido pelas hiperedges em que está contido e cada face representa uma hiper-borda).

Outro exemplo de gráfico de 3 simples é o hipergrafo de 3 uniformes completo em 5 vértices . Para ver isto simplesmente tomar 4 pontos em R 3 , que não se encontram em um plano 2D, criar uma pirâmide triangular (casco convexo), e coloque o quinto ponto no centro da pirâmide, ligando-o a outros vértices.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Da mesma forma, parece que o hipergrafo 3 uniforme completo em 6 vértices não possui uma incorporação 3 simples.

Existem algumas propriedades muito úteis dos gráficos planares que permitem algoritmos aprimorados para problemas difíceis quando o gráfico é plano. Infelizmente, os dados geralmente não são planos, embora às vezes sejam de baixa dimensionalidade. Penso que a compreensão de quais propriedades dos gráficos planares generalizam nos ajudará a descobrir quais algoritmos podem ser adaptados para dimensões mais altas com a mesma ferramenta.

Um exemplo de uma propriedade que pode ser útil vem do Teorema de Fáry, que sugere que todo gráfico plano pode ser incorporado de maneira que todas as suas arestas sejam segmentos de linha reta.

$k$

Existem outras propriedades que podem ser generalizadas? por exemplo, a fórmula de Euler para gráficos planares pode ser generalizada de alguma forma para uma dimensão mais alta? (embora, no momento, não tenha certeza de qual seria o significado disso).

Como uma primeira observação, seu foco parece estar nos hipergrafos, mas acho que a maior parte da literatura sobre a incorporação de hipergrafos prefere trabalhar com complexos simples. Uma boa referência sobre essas questões é este artigo de Matousek, Tancer e Wagner.

O Teorema de Fáry mantém uma dimensão mais elevada?

A resposta é não.

Na verdade, existem três noções diferentes de incorporabilidade: com bordas retas, lineares por partes e contínuas (hiper). No avião, todos eles coincidem, mas em geral eles não. Em relação aos casamentos lineares, um primeiro contra-exemplo se deve ao Brehm

Brehm, U. (1983). Uma tira de Möbius triangulada não poliédrica. Proc. Amer. Matemática. Soc., 89 (3), 519-522. doi: 10.2307 / 2045508

e vários exemplos se seguiram usando resultados da teoria matróide.

Sobre a diferença entre PL e incorporação topológica, isso resulta dos contra-exemplos gerais decorrentes do Hauptvermutung : Nas dimensões 5 e mais, existem esferas topológicas que não admitem nenhuma estrutura linear por partes

Existem outras propriedades que podem ser generalizadas? por exemplo, a fórmula de Euler para gráficos planares pode ser generalizada de alguma forma para uma dimensão mais alta?

$k$

Da mesma forma, parece que o 3-hipergrafo completo em 6 vértices não possui incorporação 3-simples.

De fato, isso resulta da obstrução de van Kampen-Flores. Isso é explicado em detalhes e clareza notáveis ​​no livro de Matousek Using the Borsuk Ulam Theorem.

Oh oh Você quer ter muito, muito cuidado. Os gráficos de contato dos politopos convexos em 3d podem realizar qualquer gráfico. Surpreendentemente, a camarilha pode ser realizada por n polítopos que são n rodados e cópias traduzidas do mesmo polítopo (a mente confunde). Veja este artigo:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Isso já implica que você pode codificar gráficos bastante desagradáveis ​​como gráficos de interseção de triângulos em 3d. Veja a seção 4 deste documento:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, estou interessado em uma versão semelhante do seu problema, tentando entender como o gráfico de interseção geométrica se comporta ...

O Teorema de Schnyder declara que um gráfico é plano se sua incidência poset tem uma dimensão no máximo 3. Isso foi estendido por Mendez a complexos simples arbitrários (consulte "Realização Geométrica de Complexos Simpliciais", Graph Drawing 1999: 323-332). Curiosamente, existe um artigo muito mais antigo, com um título muito semelhante "A realização geométrica de um complexo semi-simples", mas desconfio que seja sobre um assunto diferente.

Propriedade muito importante: dualidade na largura das árvores.

por exemplo, veja: Largura da árvore dos hiper-gráficos e dualidade da superfície por Frederic Mazoit,

O resumo é o seguinte:

No Graph Minors III, Robertson e Seymour escrevem: "Parece que a largura da árvore de um gráfico planar e a largura da árvore do seu dual geométrico são aproximadamente iguais; de fato, nos convencemos de que diferem no máximo por uma". Eles nunca deram uma prova disso. Neste artigo, provamos uma generalização dessa afirmação para a incorporação de hipergráficos em superfícies gerais e provamos que nosso limite é rígido.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf