As reduções devem nos tornar mais ou menos otimistas quanto à capacidade de localização de um problema?

Parece-me que a maioria dos teóricos da complexidade geralmente acredita na seguinte regra filosófica:

Se não podemos descobrir um algoritmo eficiente para o problema , e nós podemos reduzir problema para o problema , então provavelmente não há um algoritmo eficiente para o problema , também.A B $A$$A$$B$$B$

É por isso que, por exemplo, quando um novo problema está provado NP-completos nós simplesmente arquivá-la como "muito difícil" ao invés de ficar animado sobre uma nova abordagem (problema ) que podem finalmente mostrar P = N P .$B$$P = NP$

Eu estava discutindo isso com um colega de graduação em outro campo científico. Ela achou essa ideia extremamente contra-intuitiva. A analogia dela:

Você é um explorador, procurando uma ponte entre os continentes norte-americano e asiático. Por muitos meses, você tentou e falhou em encontrar uma ponte terrestre da área continental dos Estados Unidos para a Ásia. Então você descobre que o continente americano está conectado por terra à área do Alasca. Você percebe que uma ponte terrestre do Alasca à Ásia implicaria uma ponte terrestre dos EUA continental para a Ásia, o que você tem certeza de que não existe. Então você não perde tempo explorando perto do Alasca; você acabou de ir para casa.

Nossa regra filosófica anterior parece bastante tola nesse contexto. Não consegui pensar em uma boa refutação! Então, estou passando para vocês: Por que devemos tratar uma redução como dificultando o problema B, em vez de facilitar o problema A ?$A \to B$$B$$A$

Eu acho que essa é uma pergunta muito boa. Para responder, precisamos entender que:

• nem todas as reduções são iguais,
• Para nos sentirmos otimistas, precisamos aprender algo realmente útil.

Normalmente, sempre que descobrimos uma redução não trivial , ela se enquadra em uma das seguintes categorias:$A \to B$

1. Aprendemos algo útil sobre o problema A (e nada sobre o problema B).
2. Aprendemos algo desencorajador sobre o problema B (e nada sobre o problema A).

Um pouco mais precisamente, esses dois casos podem ser caracterizados da seguinte maneira:

1. Descobrimos que o problema A tem alguma estrutura oculta, o que torna possível projetar um novo algoritmo inteligente para resolver o problema A. Apenas precisamos saber como resolver o problema B.

2. Percebemos que, em alguns casos especiais, o problema B é basicamente apenas o problema A disfarçado. Agora podemos ver que qualquer algoritmo para resolver o problema B precisa resolver pelo menos esses casos especiais corretamente; e resolver esses casos especiais é essencialmente equivalente à solução do problema A. Estamos de volta à estaca zero: para avançar com o problema B, precisamos primeiro avançar com o problema A.

Reduções do tipo 1 são comuns no contexto de resultados positivos, e essas são certamente boas razões para se sentir otimista.

No entanto, se você considerar as reduções de dureza que encontramos no contexto de, por exemplo, provas de dureza NP, elas são quase sempre do tipo 2.

Observe que, mesmo que você não saiba nada sobre a complexidade computacional do problema A ou do problema B, você pode, no entanto, saber se sua redução é do tipo 1 ou do tipo 2. Portanto, não precisamos acreditar em, por exemplo, P ≠ NP para determinar se devemos nos sentir otimistas ou pessimistas. Podemos apenas ver o que aprendemos graças à redução.

O que está faltando na analogia é alguma noção das distâncias relativas envolvidas. Vamos substituir o Alasca em nossa analogia com a lua:

Você é um explorador, procurando uma ponte entre os continentes norte-americano e asiático. Por muitos meses, você tentou e falhou em encontrar uma ponte terrestre da área continental dos Estados Unidos para a Ásia. Então você descobre que o continente americano está conectado por terra à lua. Você já está confiante de que a lua está a uma grande distância da Ásia, e agora pode estar confiante de que a América do Norte também está a uma grande distância da Ásia pela desigualdade do triângulo.

Não é verdade que sempre olhamos para os teoremas de redução como declarações de dureza. Por exemplo, em algoritmos, frequentemente reduzimos um problema ao LP e ao SDP para resolvê-los. Estes não são interpretados como resultados de dureza, mas resultados algorítmicos. No entanto, embora sejam tecnicamente reduções, geralmente não nos referimos a elas como tais. O que queremos dizer com redução é geralmente uma redução para alguns problemas (NP-) difíceis.

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. A maioria dos pesquisadores acha mais provável que P não seja igual a NP e até conjectura de que o SAT exija tempo exponencial. Em outras palavras, acredita-se que o SAT seja muito difícil. Se você aceitar essas conjecturas, é completamente razoável considerar as reduções que provam universalidade de um problema para NP, pois o problema é difícil. (Por que os pesquisadores consideram P diferente de NP mais provável é uma questão diferente, houve várias postagens em blogs de teoria sobre isso.)

Parte do motivo pelo qual substituímos o limite inferior pelos resultados da universalidade (ou seja, há uma redução de todos os problemas de uma classe para o problema) é a nossa falta de sucesso em provar bons limites inferiores gerais (é consistente com o estado atual do conhecimento que o SAT pode ser resolvido em tempo determinístico linear).

Na verdade, a descoberta do Alasca teria o efeito oposto, pelo menos a princípio. Desde que se estende tão longe oeste, faria as pessoas pensam que, hey, talvez não é uma ponte de terra, depois de tudo (o ser analogia, hey, talvez P  =  NP desde esta nova NP aparência problema -completo como tal um bom candidato para tendo uma solução em tempo polinomial). No entanto, uma vez que o Alasca fosse completamente explorado e nenhuma ponte terrestre fosse encontrada, as pessoas provavelmente ficariam mais convencidas do que antes que a Ásia e as Américas estivessem separadas.

a pergunta introduz uma analogia / metáfora específica, pouco usada por especialistas, e se concentra apenas em P / NP e não menciona outras classes de complexidade, enquanto os especialistas tendem a vê-la como um grande universo interconectado de entidades, como no notável diagrama criado por Kuperberg . seria interessante compilar uma grande lista de analogias de classes de complexidade; existem muitas dessas analogias. fala sobre "arquivar" problemas comprovados como NP completos e "excitar novas abordagens".

pode-se entender que houve uma "excitação" inicial em descobrir a classe completa do NP, mas um pouco de "excitação" desapareceu depois de mais de quatro décadas de intenso esforço para provar que P ≠ NP parece não ter sido promissor e alguns pesquisadores acham que não estão mais perto. a história está cheia de pesquisadores que passaram longos anos trabalhando em problemas sem nenhum ou muito progresso aparente, às vezes com arrependimentos posteriores. para que o NP complete possa servir (emprestar a analogia de Aaronson) como uma espécie de "cerca elétrica", uma advertência / advertência para não se envolver demais em tentativas (aqui literalmente, em mais de uma maneira) de problemas "intratáveis".

é verdade que existe um aspecto importante da "catalogação" dos problemas completos do NP que ainda continuam. no entanto, continua a ser realizada uma pesquisa "granular" sobre os principais problemas de NP (SAT, detecção de clique, etc.). (na verdade, um fenômeno muito semelhante ocorre com problemas indecidíveis: uma vez provado indecidível, é como se eles fossem considerados uma "terra sem homem" para mais investigações).

portanto, todos os problemas completos de NP são comprovadamente equivalentes na teoria atual e isso às vezes aparece em conjecturas impressionantes, como a conjectura de isomorfismo de Berman-Hartman . os pesquisadores esperam que isso mude algum dia.

esta pergunta é rotulada soft-questionpor um bom motivo. você não encontrará cientistas sérios discutindo analogias em seus trabalhos, que se voltam para a ciência popular , preferindo se concentrar na precisão / rigor matemático (e conforme enfatizado nas diretrizes de comunicação desse grupo). no entanto, há algum valor aqui para educar e comunicar com pessoas de fora / leigos.

aqui estão algumas "contra-analogias" para leigos, juntamente com "pesquisas" para os conceitos. isso pode ser transformado em uma lista mais longa.

• existe uma analogia de territórios na questão. mas faz mais sentido pensar nas principais regiões da teoria da complexidade, inclusive nas classes conhecidas como terra incognita . em outras palavras, há uma região de P interceptar NP. P e NP são razoavelmente bem compreendidos, mas não se sabe se a região P ⋂ NP-hard (P intercepta NP-hard) está vazia ou não.

• Aaronson recentemente deu a metáfora de dois tipos aparentemente diferentes de espécies de sapos que nunca se misturam para P / NP. ele também se referiu à "cerca elétrica invisível" entre os dois.

• a física de partículas estuda o modelo padrão. a física estuda a composição das partículas, assim como a teoria da complexidade estuda a composição das classes de complexidade. na física há alguma incerteza sobre como algumas partículas dão origem a outras ("estabelecendo limites"), assim como na teoria da complexidade.

• "o zoológico da complexidade" , é como muitos animais exóticos com capacidades diferentes, alguns pequenos / fracos e outros grandes / poderosos.

• as classes de complexidade são como um contínuo contínuo de tempo / espaço, como visto nos teoremas da hierarquia Tempo / Espaço, com "pontos de transição" importantes (surpreendentemente profundamente análogos às transições de fase da matéria física) entre os vários estados.

• uma máquina de Turing é uma máquina com "partes móveis" e as máquinas funcionam equivalente a medições de energia e possuem medições de tempo / espaço . portanto, as classes de complexidade podem ser vistas como "energia" associada às transformações de entrada e saída da caixa preta.

• existem muitos análogos possíveis da história da matemática, ou seja, o problema de quadrilhar o círculo, encontrar soluções algébricas para a equação quintica, etc.

• Os mundos de Impaggliazo

• Fortnows novo livro contém muita analogia científica popular para mineração.

• Criptografia / descriptografia: Turing trabalhou famoso nisso durante a Segunda Guerra Mundial e muitos teoremas que provam diferenças nas classes de complexidade podem parecer análogos aos problemas de descriptografia. isso fica mais sólido com documentos como as provas naturais, onde a separação de classes de complexidade está diretamente relacionada à "quebra" de geradores de números pseudo-aleatórios.

• Compactação / descompactação: diferentes classes de complexidade permitem / representam diferentes quantidades de compactação de dados. por exemplo, suponha que P / poli contenha NP. isso significaria que existem entidades "menores" (ou seja, circuitos) que podem "codificar" "problemas maiores" de NP, ou seja, as estruturas maiores (dados) podem ser "compactadas" eficientemente em estruturas menores (dados).

• ao longo da analogia zoológico / animal, há um forte aspecto de homem cego e elefante na teoria da complexidade. o campo ainda está aparentemente / possivelmente em seus estágios iniciais de um arco muito longo (isso não é implausível ou inédito em outros campos matemáticos que duram séculos ou mesmo milênios) e muito conhecimento pode ser visto como parcial, desarticulado e fragmentado.

então, em resumo, a pergunta é sobre "otimismo associado a reduções". os cientistas geralmente se abstêm de emoções ou até riem delas às vezes em sua busca puramente lógica. existe um equilíbrio entre pessimismo de longo prazo e otimismo cauteloso no campo e, embora exista espaço para informalidade, todos os pesquisadores sérios devem se esforçar para obter imparcialidade em suas atitudes profissionais como parte da descrição do trabalho. compreensivelmente, há um foco em pequenas vitórias e incrementalismo e em não se deixar levar.