Podando um dígrafo fortemente conectado

Dado um dígrafo fortemente conectado G com arestas ponderadas, eu gostaria de identificar arestas que provavelmente não fazem parte de nenhum subgrafo mínimo fortemente conectado (MSCS) de G.

Um método para encontrar essas arestas é um algoritmo de Floyd-Warshall modificado. Usando o algoritmo de Floyd-Warshall, é possível identificar quais arestas nunca são a melhor opção para ir do vértice i para j. Esses nós não podem fazer parte de um MSCS porque é melhor substituí-los por duas ou mais outras arestas.

A técnica de poda de Floyd-Warshall funciona muito bem quando os pesos das arestas variam significativamente, mas muito pouco quando os pesos das arestas são semelhantes, mas de magnitude grande.

Você conhece algum método de poda eficaz para pesos de borda grandes e semelhantes? Esse problema é equivalente a um problema mais comum que eu não reconheço? Esse tipo de poda já foi estudado anteriormente na literatura?

Assumimos que os pesos das arestas são números inteiros positivos. Dado um grafo orientado G com pesos das arestas, chamar uma aresta e redundante se e não pertence a qualquer mínimo de peso fortemente ligado que abrange subgráficos de L .

Afirmamos que, a menos que P = NP, não haja algoritmo de tempo polinomial que sempre encontre uma aresta redundante em um determinado gráfico direcionado com pesos de aresta, desde que exista um. Mais precisamente:

Teorema . Dado um gráfico direcionado G com pesos de arestas, é NP difícil encontrar uma aresta redundante em G ou declarar que G não possui uma aresta redundante.

Prova . A principal observação é que, se G tiver um subgrafo de abrangência fortemente unido, com peso mínimo e exclusivo , você poderá calcular esse subgrafo removendo as arestas redundantes uma a uma. Portanto, resta mostrar que a singularidade não facilita o problema do subgrafo de extensão fortemente conectado com peso mínimo, mas isso é comprovado no próximo lema. QED .

Lema . Dado um gráfico direcionado G com pesos das arestas, é NP difícil calcular o peso do subgrafo de extensão de peso mínimo fortemente conectado de G, mesmo com a promessa de que G tem um subgrafo de extensão de peso mínimo exclusivo e fortemente conectado.

Prova . Como você sabe , o problema sem a promessa é NP-difícil (mesmo para o caso de peso unitário) devido a uma redução do problema do circuito Hamiltoniano. Reduzimos o problema sem a promessa ao problema com a promessa.

Seja G um gráfico direcionado com pesos das arestas. Rotular os bordos de G por e ₀ , e ₁ , ..., e _{m -1} , onde m é o número de extremidades em L . Deixe w _i ser determinado o peso da aresta de um e _i . Seja o novo peso w ′ _i = 2 ^m w _i +2 ⁱ . Então é fácil verificar se G com os novos pesos possui um subgrafo de abrangência fortemente unido, com peso mínimo. Também é fácil verificar se o peso mínimoW de um subgráfico de extensão fortemente conectado em G com os pesos originais pode ser calculado a partir do peso mínimo W ′ em G com os novos pesos como W = ⌊ W ′ / 2 ^m ⌋. QED .